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Verknüpfte Änderungsraten – Leiter, Kegel, Welle, Ballon und Schatten

MathematikAnalysisAlter 16–17

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Fünf animierte Situationen: eine Leiter, die an einer Wand abrutscht, Wasser, das in einen kegelförmigen Behälter läuft, eine kreisförmige Welle auf einem Teich, ein Ballon, der aufgeblasen wird, und eine Person, die sich von einer Straßenlaterne entfernt. Legen Sie eine Änderungsrate fest (dx/dt, dV/dt oder dr/dt) und klicken Sie auf Start: Anzeigen und Graphen über der Zeit zeigen, wie sich die anderen Raten ändern, und die Schritte mit der Kettenregel – Ableiten der Beziehung nach t – werden mit den Werten des aktuellen Zeitpunkts ausgefüllt.

Lektion: Verknüpfte Änderungsraten: eine Beziehung mit der Kettenregel nach der Zeit ableiten

Was sie zeigt

Bei verknüpften Änderungsraten ändert sich eine Größe mit bekannter Rate, gesucht ist die Änderungsrate einer damit verbundenen Größe. Man stellt die Beziehung auf (Pythagoras bei der Leiter, V = πR²h³/(3H²) beim Kegel, A = πr², V = 4πr³/3, ähnliche Dreiecke beim Schatten), leitet beide Seiten mit der Kettenregel nach der Zeit t ab und setzt die Werte zum gefragten Zeitpunkt ein. Die Simulation animiert jeden Fall und prüft das Ergebnis mit Δ/Δt über 0,001 s.

So funktioniert es

Wählen Sie eine Situation, stellen Sie die gegebene Rate und die Maße mit den Schiebereglern ein und klicken Sie auf Start oder ziehen Sie den Regler Zeitpunkt, um einen Moment zu wählen. Lesen Sie die drei Anzeigen (gegebene Rate und zwei berechnete Raten), die Graphen der Größe und ihrer Rate über t und die nummerierten Schritte darunter ab. Aktivieren Sie Mit Δ/Δt prüfen für den Vergleich mit einem Differenzenquotienten und klicken Sie auf Zurücksetzen, um neu zu beginnen.

Einstellbare Parameter

  • Situation Leiter rutscht an der Wand ab, Kegelförmiger Behälter wird gefüllt, Welle breitet sich auf einem Teich aus, Ballon wird aufgeblasen, Person entfernt sich von der Laterne
  • Länge der Leiter L 3–12 m
  • Rate, mit der der Fuß nach außen rutscht, dx/dt 0,1–2 m/s
  • Radius der Behälteröffnung R 4–15 cm
  • Höhe des Behälters H 10–30 cm
  • Volumenstrom dV/dt (negativ = Entleeren) -100–100 cm³/s
  • Ausbreitungsrate der Welle dr/dt 0,1–2 m/s
  • Aufblasrate dV/dt 20–500 cm³/s
  • Höhe der Laterne H 3–10 m
  • Körpergröße der Person h 1–2,2 m
  • Gehgeschwindigkeit dx/dt 0,2–3 m/s
  • Prüfung mit Δ/Δt anzeigen
  • Beim Öffnen automatisch starten

Fragen zum Erkunden

  1. Der Fuß der Leiter rutscht gleichmäßig nach außen – warum fällt das obere Ende immer schneller?
  2. Wasser fließt gleichmäßig in den Kegel – wie ändert sich dh/dt, wenn sich die Wassertiefe verdoppelt?
  3. Warum bewegt sich die Schattenspitze gleich schnell, egal ob die Person nah an der Laterne oder weit weg ist?

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