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Vitesses de variation liées – échelle, cône, onde, ballon et ombre

MathématiquesAnalyse16–17 ans

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Cinq situations animées : une échelle qui glisse le long d’un mur, de l’eau qui remplit un réservoir conique, une onde circulaire sur un étang, un ballon qu’on gonfle et une personne qui s’éloigne d’un lampadaire. Fixez une vitesse de variation (dx/dt, dV/dt ou dr/dt) et lancez l’animation : des cadrans et des courbes en fonction du temps montrent comment évoluent les autres vitesses, et les étapes de la dérivation d’une fonction composée – dériver la relation par rapport à t – sont complétées avec les valeurs de l’instant affiché.

Leçon : Vitesses de variation liées : dériver une relation par rapport au temps (dérivée d’une fonction composée)

Ce qu’elle montre

Dans un problème de vitesses liées, une grandeur varie à une vitesse connue et l’on cherche la vitesse de variation d’une autre grandeur qui lui est liée. On écrit la relation (Pythagore pour l’échelle, V = πR²h³/(3H²) pour le cône, A = πr², V = 4πr³/3, triangles semblables pour l’ombre), on dérive les deux membres par rapport au temps t avec la dérivée d’une fonction composée, puis on remplace par les valeurs à l’instant voulu. La simulation anime chaque cas et vérifie le résultat avec Δ/Δt sur 0,001 s.

Mode d’emploi

Choisissez une Situation, réglez la vitesse donnée et les dimensions avec les curseurs, puis cliquez sur Lancer ou faites glisser le curseur Instant pour choisir un moment. Lisez les trois cadrans (la vitesse donnée et deux vitesses déduites), les courbes de la grandeur et de sa vitesse en fonction de t, et les étapes numérotées en dessous. Cochez Vérifier avec Δ/Δt pour comparer avec un taux d’accroissement, puis Réinitialiser pour recommencer.

Paramètres modifiables

  • Situation Échelle qui glisse le long d’un mur, Remplissage d’un réservoir conique, Onde qui s’étend sur un étang, Ballon qu’on gonfle, Personne qui s’éloigne d’un lampadaire
  • Longueur de l’échelle L 3–12 m
  • Vitesse à laquelle le pied s’éloigne, dx/dt 0,1–2 m/s
  • Rayon de l’ouverture du réservoir R 4–15 cm
  • Hauteur du réservoir H 10–30 cm
  • Débit dV/dt (négatif = vidange) -100–100 cm³/s
  • Vitesse à laquelle l’onde s’étend, dr/dt 0,1–2 m/s
  • Débit de gonflage dV/dt 20–500 cm³/s
  • Hauteur du lampadaire H 3–10 m
  • Taille de la personne h 1–2,2 m
  • Vitesse de marche dx/dt 0,2–3 m/s
  • Afficher la vérification avec Δ/Δt
  • Lancer automatiquement à l’ouverture

Questions à explorer

  1. Le pied de l’échelle glisse à vitesse constante : pourquoi le haut descend-il de plus en plus vite ?
  2. L’eau arrive dans le cône avec un débit constant : comment varie dh/dt quand la hauteur d’eau double ?
  3. Pourquoi l’extrémité de l’ombre avance-t-elle à la même vitesse, que la personne soit près du lampadaire ou loin ?

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