Taxas relacionadas – escada, cone, onda, balão e sombra

O que mostra

Num problema de taxas relacionadas, uma grandeza varia a uma taxa conhecida e queremos a taxa de outra grandeza ligada a ela. Escreva a relação (Pitágoras na escada, V = πR²h³/(3H²) no cone, A = πr², V = 4πr³/3, semelhança de triângulos na sombra), derive os dois lados em relação ao tempo t com a regra da cadeia e substitua os valores no instante pedido. A simulação anima cada caso e confere o resultado com Δ/Δt em 0,001 s.

Como usar

Escolha uma Situação, ajuste a taxa dada e as medidas nos controles deslizantes e clique em Iniciar ou arraste o controle Instante para escolher um momento. Leia os três medidores (a taxa dada e duas taxas obtidas), os gráficos da grandeza e da sua taxa em função de t e os passos numerados abaixo. Marque Conferir com Δ/Δt para comparar com uma diferença finita e clique em Reiniciar para recomeçar.

Parâmetros que você pode mudar

• Situação Escada escorregando pela parede, Enchendo um tanque cônico, Onda se espalhando num lago, Inflando um balão, Pessoa se afastando de um poste
• Comprimento da escada L 3–12 m
• Taxa com que o pé se afasta, dx/dt 0,1–2 m/s
• Raio da boca do tanque R 4–15 cm
• Altura do tanque H 10–30 cm
• Vazão dV/dt (negativa = esvaziando) -100–100 cm³/s
• Taxa com que a onda se espalha, dr/dt 0,1–2 m/s
• Taxa de enchimento dV/dt 20–500 cm³/s
• Altura do poste H 3–10 m
• Altura da pessoa h 1–2,2 m
• Velocidade da caminhada dx/dt 0,2–3 m/s
• Mostrar a conferência com Δ/Δt
• Iniciar automaticamente ao abrir

Perguntas para explorar

1. O pé da escada escorrega a uma taxa constante; por que o topo cai cada vez mais rápido?
2. A água entra no cone a uma taxa constante; como muda dh/dt quando a profundidade dobra?
3. Por que a ponta da sombra se move com a mesma velocidade, esteja a pessoa perto ou longe do poste?