Razones de cambio relacionadas – escalera, cono, onda, globo y sombra

Qué muestra

En un problema de razones de cambio relacionadas, una magnitud cambia a un ritmo conocido y buscamos el ritmo de otra magnitud ligada a ella. Se escribe la relación (Pitágoras en la escalera, V = πR²h³/(3H²) en el cono, A = πr², V = 4πr³/3, triángulos semejantes en la sombra), se derivan ambos miembros respecto al tiempo t con la regla de la cadena y se sustituyen los valores del instante pedido. La simulación anima cada caso y comprueba el resultado con Δ/Δt en 0,001 s.

Cómo usarla

Elige una Situación, ajusta la razón dada y las medidas con los deslizadores, y pulsa Reproducir o arrastra el deslizador Instante para elegir un momento. Lee los tres indicadores (la razón dada y dos razones obtenidas), las gráficas de la magnitud y su razón frente a t y los pasos numerados de abajo. Marca Comprobar con Δ/Δt para compararlo con una diferencia finita y pulsa Reiniciar para empezar de nuevo.

Parámetros que puedes cambiar

• Situación Escalera que resbala por una pared, Llenado de un depósito cónico, Onda que se extiende en un estanque, Globo que se infla, Persona que se aleja de una farola
• Longitud de la escalera L 3–12 m
• Ritmo al que se aleja el pie, dx/dt 0,1–2 m/s
• Radio de la boca del depósito R 4–15 cm
• Altura del depósito H 10–30 cm
• Caudal dV/dt (negativo = vaciado) -100–100 cm³/s
• Ritmo al que se extiende la onda, dr/dt 0,1–2 m/s
• Ritmo de inflado dV/dt 20–500 cm³/s
• Altura de la farola H 3–10 m
• Estatura de la persona h 1–2,2 m
• Velocidad al caminar dx/dt 0,2–3 m/s
• Mostrar la comprobación con Δ/Δt
• Reproducir automáticamente al abrir

Preguntas para explorar

1. El pie de la escalera se desliza a ritmo constante; ¿por qué la parte de arriba cae cada vez más deprisa?
2. El agua entra en el cono a ritmo constante; ¿cómo cambia dh/dt cuando la profundidad se duplica?
3. ¿Por qué la punta de la sombra se mueve igual de rápido tanto si la persona está cerca de la farola como lejos?