Zufallsgrößen kombinieren – Summen, Differenzen, aX + b und erwartungstreue Schätzer

Was sie zeigt

Für Konstanten a und b gilt E(aX + b) = aE(X) + b und Var(aX + b) = a²Var(X): Addieren von b verschiebt die Verteilung, ohne ihre Streuung zu ändern. Erwartungswerte addieren sich immer, E(X ± Y) = E(X) ± E(Y), Varianzen aber nur bei unabhängigen Zufallsgrößen, und zwar auch bei einer Differenz: Var(X − Y) = Var(X) + Var(Y). Die Summe von k unabhängigen Kopien hat die Varianz kVar(X), nicht k²Var(X), und eine Summe unabhängiger normalverteilter Größen ist normalverteilt. Die Schätzer-Ansicht zeigt, dass Teilen durch n − 1 σ² erwartungstreu schätzt, während Teilen durch n und die Spannweite zu klein schätzen.

So funktioniert es

Wählen Sie einen Kontext oder Eigene, wählen Sie die Operation hinter Z = und drücken Sie 1 Ziehung, +100, +1000 oder Start, damit das Histogramm von Z wächst. Vergleichen Sie Mittelwert und Varianz der Simulation in der Tabelle mit Theorie und Regeln. Ziehen Sie die rote Linie, um c in P(Z ≥ c) festzulegen, entfernen Sie den Haken bei Unabhängige Ziehungen, um die Varianzregel zu brechen, und blenden Sie die Normalkurve ein. Unter Erwartungstreue Schätzer wählen Sie Grundgesamtheit, Schätzer und Stichprobenumfang n.

Einstellbare Parameter

• Ansicht Zufallsgrößen kombinieren, Schätzer: Verzerrung und Streuung
• Kontext Eigene X, Y und Operation, Zwei Würfel, Masse eines Pakets, Zwei Sprinter, °C in °F, Aufzug mit k Personen
• Operation, die Z bildet (Kontext Eigene) aX + b, X + Y, X − Y, aX + bY, X₁ + … + Xₖ (k unabhängige Kopien), Mittelwert X̄ von k Kopien
• Koeffizient a (Kontext Eigene) -10–10
• Koeffizient b (Kontext Eigene) -100–100
• Anzahl der Kopien k (Kontext Eigene) 2–30
• Verteilung von X (Kontext Eigene) Fairer Würfel (1–6), Wertetabelle, Normal N(μ, σ²)
• Werte von X (Tabelle, durch Leerzeichen getrennt)
• Wahrscheinlichkeiten von X (Tabelle, durch Leerzeichen getrennt)
• Erwartungswert μ von X (normal) -1000–1000
• Standardabweichung σ von X (normal) 0,01–1000
• Verteilung von Y (Kontext Eigene) Fairer Würfel (1–6), Wertetabelle, Normal N(μ, σ²)
• Werte von Y (Tabelle, durch Leerzeichen getrennt)
• Wahrscheinlichkeiten von Y (Tabelle, durch Leerzeichen getrennt)
• Erwartungswert μ von Y (normal) -1000–1000
• Standardabweichung σ von Y (normal) 0,01–1000
• Unabhängige Ziehungen
• Normalkurve mit gleichem Erwartungswert und gleicher Standardabweichung anzeigen
• Grenze c des Ereignisses (Kontext Eigene) -100000–100000
• Ereignis für die Wahrscheinlichkeit (Kontext Eigene) Z ≥ c, Z ≤ c
• Grundgesamtheit (Ansicht Schätzer) Fairer Würfel (1–6), Gleichverteilt auf [0, 10], Normal N(50, 10²)
• Stichprobenumfang n (Ansicht Schätzer) 2–50
• Verglichene Schätzer (Ansicht Schätzer) Varianz: durch n oder n − 1 teilen, Standardabweichung, Spannweite der Stichprobe, Stichprobenmittel oder Stichprobenmedian
• Zufallsstartwert (gleiche Zahl, gleiche Ergebnisse) 1–999

Fragen zum Erkunden

1. Warum ist die Varianz von X − Y gleich Var(X) + Var(Y) und nicht Var(X) − Var(Y)?
2. Haben die Gesamtmasse von 8 Erwachsenen und das 8-Fache der Masse eines Erwachsenen dieselbe Standardabweichung?
3. Warum liefert Teilen durch n − 1 einen erwartungstreuen Schätzwert für die Varianz der Grundgesamtheit?