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Combinación de variables aleatorias – sumas, diferencias, aX + b y estimadores insesgados

MatemáticasProbabilidadEdades 17–18

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Extrae miles de valores de dos distribuciones independientes (un dado, una tabla de valores o un modelo normal) para construir X + Y, X − Y, aX + b, aX + bY y la suma o la media de k copias, y compara el histograma con la distribución exacta y con las reglas E(aX + b) = aE(X) + b, Var(aX + b) = a²Var(X), E(X ± Y) = E(X) ± E(Y) y Var(X ± Y) = Var(X) + Var(Y). Incluye contextos reales (la masa total de un paquete, la diferencia de dos tiempos de carrera, °C a °F, un ascensor) y una pantalla de estimadores que compara la varianza con divisor n y n − 1 y el rango muestral.

Lección: Media y varianza de sumas, diferencias y transformaciones lineales; estimadores insesgados

Qué muestra

Para constantes a y b, E(aX + b) = aE(X) + b y Var(aX + b) = a²Var(X): sumar b desplaza la distribución sin cambiar su dispersión. Las medias siempre se suman, E(X ± Y) = E(X) ± E(Y), pero las varianzas solo se suman si las variables son independientes, y también se suman en una diferencia: Var(X − Y) = Var(X) + Var(Y). La suma de k copias independientes tiene varianza kVar(X), no k²Var(X), y una suma de normales independientes es normal. La pantalla de estimadores muestra que dividir entre n − 1 da una estimación insesgada de σ², mientras que dividir entre n y el rango muestral subestiman.

Cómo usarla

Elige un Contexto o Personalizado, escoge la operación tras Z = y pulsa Extraer 1, +100, +1000 o Ejecutar para que crezca el histograma de Z. Compara la media y la varianza simuladas de la tabla con la teoría y las reglas. Arrastra la línea roja para fijar c en P(Z ≥ c), desmarca Extracciones independientes para romper la regla de la varianza y activa la curva normal. En Estimadores insesgados, elige Población, Estimador y Tamaño de muestra n.

Parámetros que puedes cambiar

  • Pantalla Combinación de variables aleatorias, Estimadores: sesgo y variabilidad
  • Contexto X, Y y operación personalizadas, Dos dados, Masa de un paquete, Dos velocistas, °C a °F, Ascensor con k personas
  • Operación que forma Z (contexto Personalizado) aX + b, X + Y, X − Y, aX + bY, X₁ + … + Xₖ (k copias independientes), Media X̄ de k copias
  • Coeficiente a (contexto Personalizado) -10–10
  • Coeficiente b (contexto Personalizado) -100–100
  • Número de copias k (contexto Personalizado) 2–30
  • Distribución de X (contexto Personalizado) Dado equilibrado (1–6), Tabla de valores, Normal N(μ, σ²)
  • Valores de X (tabla, separados por espacios)
  • Probabilidades de X (tabla, separadas por espacios)
  • Media μ de X (normal) -1000–1000
  • Desviación típica σ de X (normal) 0,01–1000
  • Distribución de Y (contexto Personalizado) Dado equilibrado (1–6), Tabla de valores, Normal N(μ, σ²)
  • Valores de Y (tabla, separados por espacios)
  • Probabilidades de Y (tabla, separadas por espacios)
  • Media μ de Y (normal) -1000–1000
  • Desviación típica σ de Y (normal) 0,01–1000
  • Extracciones independientes
  • Mostrar una curva normal con la misma media y desviación típica
  • Corte c del suceso (contexto Personalizado) -100000–100000
  • Suceso para la probabilidad (contexto Personalizado) Z ≥ c, Z ≤ c
  • Población (pantalla Estimadores) Dado equilibrado (1–6), Uniforme en [0, 10], Normal N(50, 10²)
  • Tamaño de muestra n (pantalla Estimadores) 2–50
  • Estimadores comparados (pantalla Estimadores) Varianza: dividir entre n o n − 1, Desviación típica, Rango muestral, Media muestral o mediana muestral
  • Semilla aleatoria (mismo número, mismos resultados) 1–999

Preguntas para explorar

  1. ¿Por qué la varianza de X − Y es Var(X) + Var(Y) y no Var(X) − Var(Y)?
  2. ¿Tienen la misma desviación típica la masa total de 8 adultos y 8 veces la masa de un adulto?
  3. ¿Por qué dividir entre n − 1 da una estimación insesgada de la varianza poblacional?

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