Combiner des variables aléatoires – sommes, différences, aX + b et estimateurs sans biais

Ce qu’elle montre

Pour des constantes a et b, E(aX + b) = aE(X) + b et V(aX + b) = a²V(X) : ajouter b décale la loi sans changer sa dispersion. Les espérances s'additionnent toujours, E(X ± Y) = E(X) ± E(Y), mais les variances ne s'additionnent que pour des variables indépendantes, et elles s'additionnent aussi pour une différence : V(X − Y) = V(X) + V(Y). La somme de k copies indépendantes a pour variance kV(X), et non k²V(X), et une somme de variables normales indépendantes est normale. L'écran des estimateurs montre que diviser par n − 1 donne une estimation sans biais de σ², alors que diviser par n et l'étendue sous-estiment.

Mode d’emploi

Choisissez une Situation ou Personnalisée, choisissez l'opération après Z = et appuyez sur Tirer 1, +100, +1000 ou Lancer pour faire grandir l'histogramme de Z. Comparez la moyenne et la variance simulées du tableau avec la théorie et les règles. Faites glisser la ligne rouge pour fixer c dans P(Z ≥ c), décochez Tirages indépendants pour mettre en défaut la règle des variances et affichez la courbe normale. Dans Estimateurs sans biais, choisissez Population, Estimateur et Taille d'échantillon n.

Paramètres modifiables

• Écran Combiner des variables aléatoires, Estimateurs : biais et variabilité
• Situation X, Y et opération personnalisés, Deux dés, Masse d'un colis, Deux sprinteurs, °C en °F, Ascenseur avec k personnes
• Opération qui donne Z (situation Personnalisée) aX + b, X + Y, X − Y, aX + bY, X₁ + … + Xₖ (k copies indépendantes), Moyenne X̄ de k copies
• Coefficient a (situation Personnalisée) -10–10
• Coefficient b (situation Personnalisée) -100–100
• Nombre de copies k (situation Personnalisée) 2–30
• Loi de X (situation Personnalisée) Dé équilibré (1–6), Tableau de valeurs, Normale N(μ, σ²)
• Valeurs de X (tableau, séparées par des espaces)
• Probabilités de X (tableau, séparées par des espaces)
• Espérance μ de X (loi normale) -1000–1000
• Écart type σ de X (loi normale) 0,01–1000
• Loi de Y (situation Personnalisée) Dé équilibré (1–6), Tableau de valeurs, Normale N(μ, σ²)
• Valeurs de Y (tableau, séparées par des espaces)
• Probabilités de Y (tableau, séparées par des espaces)
• Espérance μ de Y (loi normale) -1000–1000
• Écart type σ de Y (loi normale) 0,01–1000
• Tirages indépendants
• Afficher une courbe normale de même espérance et même écart type
• Seuil c de l'événement (situation Personnalisée) -100000–100000
• Événement dont on calcule la probabilité (situation Personnalisée) Z ≥ c, Z ≤ c
• Population (écran Estimateurs) Dé équilibré (1–6), Uniforme sur [0 ; 10], Normale N(50, 10²)
• Taille d'échantillon n (écran Estimateurs) 2–50
• Estimateurs comparés (écran Estimateurs) Variance : diviser par n ou par n − 1, Écart type, Étendue de l'échantillon, Moyenne ou médiane de l'échantillon
• Graine aléatoire (même nombre, mêmes résultats) 1–999

Questions à explorer

1. Pourquoi la variance de X − Y vaut-elle V(X) + V(Y) et non V(X) − V(Y) ?
2. La masse totale de 8 adultes et 8 fois la masse d'un adulte ont-elles le même écart type ?
3. Pourquoi diviser par n − 1 donne-t-il une estimation sans biais de la variance de la population ?