Combinação de variáveis aleatórias – somas, diferenças, aX + b e estimadores não viesados

O que mostra

Para constantes a e b, E(aX + b) = aE(X) + b e Var(aX + b) = a²Var(X): somar b desloca a distribuição sem mudar a sua dispersão. As médias sempre se somam, E(X ± Y) = E(X) ± E(Y), mas as variâncias só se somam para variáveis independentes, e também se somam numa diferença: Var(X − Y) = Var(X) + Var(Y). A soma de k cópias independentes tem variância kVar(X), não k²Var(X), e uma soma de normais independentes é normal. A tela de estimadores mostra que dividir por n − 1 dá uma estimativa não viesada de σ², enquanto dividir por n e a amplitude amostral subestimam.

Como usar

Escolha um Contexto ou Personalizado, escolha a operação depois de Z = e pressione Retirar 1, +100, +1000 ou Executar para o histograma de Z crescer. Compare a média e a variância simuladas da tabela com a teoria e as regras. Arraste a linha vermelha para definir c em P(Z ≥ c), desmarque Retiradas independentes para quebrar a regra da variância e ative a curva normal. Em Estimadores não viesados, escolha População, Estimador e Tamanho da amostra n.

Parâmetros que você pode mudar

• Tela Combinação de variáveis aleatórias, Estimadores: viés e variabilidade
• Contexto X, Y e operação personalizados, Dois dados, Massa de um pacote, Dois velocistas, °C para °F, Elevador com k pessoas
• Operação que forma Z (contexto Personalizado) aX + b, X + Y, X − Y, aX + bY, X₁ + … + Xₖ (k cópias independentes), Média X̄ de k cópias
• Coeficiente a (contexto Personalizado) -10–10
• Coeficiente b (contexto Personalizado) -100–100
• Número de cópias k (contexto Personalizado) 2–30
• Distribuição de X (contexto Personalizado) Dado honesto (1–6), Tabela de valores, Normal N(μ, σ²)
• Valores de X (tabela, separados por espaços)
• Probabilidades de X (tabela, separadas por espaços)
• Média μ de X (normal) -1000–1000
• Desvio padrão σ de X (normal) 0,01–1000
• Distribuição de Y (contexto Personalizado) Dado honesto (1–6), Tabela de valores, Normal N(μ, σ²)
• Valores de Y (tabela, separados por espaços)
• Probabilidades de Y (tabela, separadas por espaços)
• Média μ de Y (normal) -1000–1000
• Desvio padrão σ de Y (normal) 0,01–1000
• Retiradas independentes
• Mostrar uma curva normal com a mesma média e desvio padrão
• Corte c do evento (contexto Personalizado) -100000–100000
• Evento para a probabilidade (contexto Personalizado) Z ≥ c, Z ≤ c
• População (tela Estimadores) Dado honesto (1–6), Uniforme em [0, 10], Normal N(50, 10²)
• Tamanho da amostra n (tela Estimadores) 2–50
• Estimadores comparados (tela Estimadores) Variância: dividir por n ou n − 1, Desvio padrão, Amplitude amostral, Média amostral ou mediana amostral
• Semente aleatória (mesmo número, mesmos resultados) 1–999

Perguntas para explorar

1. Por que a variância de X − Y é Var(X) + Var(Y) e não Var(X) − Var(Y)?
2. A massa total de 8 adultos e 8 vezes a massa de um adulto têm o mesmo desvio padrão?
3. Por que dividir por n − 1 dá uma estimativa não viesada da variância populacional?