Limites de sequências e de funções, continuidade

O que mostra

Uma sequência uₙ tem limite L se, para qualquer faixa L ± ε, todos os termos a partir de um índice N₀ ficam dentro dela; (−1)ⁿ não cabe em nenhuma faixa estreita. Uma função tem limite em x₀ quando os limites laterais coincidem, e é contínua ali se esse limite for igual a f(x₀). O modo Técnicas transforma as formas 0/0 e ∞/∞ em valores exatos: fatorar ou multiplicar pelo conjugado tira um buraco, o teorema do confronto prende x² sin(1/x) e sin x / x entre funções mais simples, a regra de L'Hôpital compara f/g com f′/g′ e dividir pela maior potência dá limites no infinito.

Como usar

Em Sequência, escolha uma sequência e arraste na vertical sobre o gráfico para estreitar ε; preveja como N₀ muda. Em Função, defina x₀, arraste o ponto vermelho até ele por cada lado ou toque em Iniciar, e compare os limites laterais com f(x₀). Em Técnicas, escolha um caso e toque em Próximo passo para ver a resolução passo a passo enquanto você arrasta o ponto vermelho e observa a tabela.

Parâmetros que você pode mudar

• Objeto Sequência uₙ, Função f(x), Técnicas para calcular limites
• Sequência uₙ = 1/n, uₙ = (−1)ⁿ/n, uₙ = (2n + 1)/(n + 1), uₙ = (−1)ⁿ (sem limite)
• ε (semilargura da faixa em torno de L) 0,02–0,5
• Função f(x) = (x² − 1)/(x − 1), f(x) = sin x / x, f(x) = |x|/x, f(x) = x² (contínua)
• Ponto x₀ onde se estuda o limite -3–3
• Técnica (modo Técnicas) Fatorar: (x² − x − 6)/(x − 3), x → 3, Conjugado: (√(x + 4) − 2)/x, x → 0, Confronto: x² sin(1/x), x → 0, Confronto: sin x / x, x → 0, L'Hôpital 0/0: ln x / (x − 1), x → 1, L'Hôpital ∞/∞: ln x / x, x → ∞, No infinito: (2x² − 3x + 1)/(x² + 4)

Perguntas para explorar

1. Para ε = 0,1, a partir de qual índice N₀ todos os termos de uₙ = 1/n ficam dentro da faixa?
2. Por que multiplicar por √(x + 4) + 2 elimina a forma 0/0 de (√(x + 4) − 2)/x quando x → 0?
3. Quais das quatro funções são contínuas em x₀ = 0, e o que falha nas outras?