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Ângulo entre reta e plano, distâncias na pirâmide regular

MatemáticaGeometria espacialIdades 16–17

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Usar com minha turma

Uma pirâmide regular S.ABCD (ou S.ABC) pode ser girada com o mouse ou o dedo. A simulação constrói a projeção da aresta lateral SA (ou do apótema SM) sobre a base, sombreia o ângulo entre a reta e o plano e mostra a tangente desse ângulo em função da altura e da aresta da base; também constrói a distância de S à base e do centro O à face lateral (SBC). O botão 2D | 3D muda para uma pirâmide em 3D real (WebGL) com a reta, sua projeção sobre a base, o ângulo φ destacado e o segmento OH perpendicular a (SBC); arraste para girar e use a roda do mouse ou a pinça para ampliar.

Aula: Reta perpendicular a um plano, ângulo entre reta e plano, distância de ponto a plano

O que mostra

O ângulo entre uma reta e um plano é o ângulo entre a reta e sua projeção ortogonal sobre o plano. Numa pirâmide regular, o vértice S se projeta no centro O da base, então a projeção da aresta lateral SA é OA e o ângulo é SAO, com tan φ = h/OA; para o apótema SM o ângulo é SMO, com tan φ = h/OM, que também é o ângulo entre a face (SBC) e a base. Como BC é perpendicular ao plano (SOM), a perpendicular OH traçada de O até SM também é perpendicular à face (SBC), logo d(O, (SBC)) = SO·OM/SM.

Como usar

Escolha a Base da pirâmide, ajuste a Aresta da base a e a Altura SO = h, e selecione a Reta cujo ângulo com a base é estudado. Gire a figura até o triângulo retângulo SOA ou SOM ficar bem visível. Aumente h e preveja como φ vai mudar. Ative Mostrar a distância de O à face lateral (SBC) para ver OH e use o botão 2D | 3D para uma vista tridimensional real, que pode ser girada e ampliada.

Parâmetros que você pode mudar

  • Base da pirâmide Quadrado ABCD (pirâmide quadrangular regular), Triângulo equilátero ABC (pirâmide triangular regular)
  • Aresta da base a 2–6
  • Altura SO = h 1–6
  • Reta cujo ângulo com a base é estudado Aresta lateral SA, Apótema SM (M é o ponto médio de BC)
  • Mostrar a distância de O à face lateral (SBC)

Perguntas para explorar

  1. Qual ângulo é maior, o de SA com a base ou o de SM com a base? Por quê?
  2. Como os dois ângulos mudam quando a altura h aumenta e a aresta da base a fica fixa?
  3. Por que a perpendicular traçada de O à face (SBC) está no plano (SOM)?

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