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Angle entre une droite et un plan, distance dans une pyramide régulière

MathématiquesGéométrie dans l'espace16–17 ans

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Une pyramide régulière S.ABCD (ou S.ABC) peut être tournée à la souris ou au doigt. La simulation construit le projeté orthogonal de l'arête latérale SA (ou de l'apothème SM) sur la base, colorie l'angle entre la droite et le plan, et donne la tangente de cet angle en fonction de la hauteur et de l'arête de base ; elle construit aussi la distance de S à la base et du centre O à la face latérale (SBC). Le bouton 2D | 3D passe à une vraie pyramide en 3D (WebGL) avec la droite, son projeté sur la base, l'angle φ coloré et le segment OH perpendiculaire à (SBC) ; faites glisser pour tourner, utilisez la molette ou pincez pour zoomer.

Leçon : Droite orthogonale à un plan, angle entre une droite et un plan, distance d'un point à un plan

Ce qu’elle montre

L'angle entre une droite et un plan est l'angle entre la droite et son projeté orthogonal sur le plan. Dans une pyramide régulière, le sommet S se projette au centre O de la base : le projeté de l'arête latérale SA est OA et l'angle cherché est SAO, avec tan φ = h/OA ; pour l'apothème SM, l'angle est SMO, avec tan φ = h/OM, qui est aussi l'angle entre la face (SBC) et la base. Comme (BC) est orthogonale au plan (SOM), la perpendiculaire OH menée de O à (SM) est aussi orthogonale à la face (SBC), d'où d(O, (SBC)) = SO·OM/SM.

Mode d’emploi

Choisissez la Base de la pyramide, réglez l'Arête de base a et la Hauteur SO = h, puis sélectionnez la Droite dont on étudie l'angle avec la base. Faites tourner la figure jusqu'à bien voir le triangle rectangle SOA ou SOM. Augmentez h et prévoyez l'évolution de φ. Activez Afficher la distance de O à la face latérale (SBC) pour voir OH, et utilisez le bouton 2D | 3D pour une vraie vue en 3D que l'on peut tourner et agrandir.

Paramètres modifiables

  • Base de la pyramide Carré ABCD (pyramide régulière à base carrée), Triangle équilatéral ABC (pyramide régulière à base triangulaire)
  • Arête de base a 2–6
  • Hauteur SO = h 1–6
  • Droite dont on étudie l'angle avec la base Arête latérale SA, Apothème SM (M milieu de BC)
  • Afficher la distance de O à la face latérale (SBC)

Questions à explorer

  1. Quel angle est le plus grand : celui de SA avec la base ou celui de SM avec la base ? Pourquoi ?
  2. Comment les deux angles évoluent-ils quand la hauteur h augmente et que l'arête de base a reste fixe ?
  3. Pourquoi la perpendiculaire menée de O à la face (SBC) est-elle contenue dans le plan (SOM) ?

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