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Winkel zwischen Gerade und Ebene, Abstände in der regelmäßigen Pyramide

MathematikRaumgeometrieAlter 16–17

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Eine regelmäßige Pyramide S.ABCD (oder S.ABC) lässt sich mit Maus oder Finger drehen. Die Simulation konstruiert die Projektion der Seitenkante SA (oder der Seitenhöhe SM) auf die Grundfläche, färbt den Winkel zwischen Gerade und Ebene ein und zeigt dessen Tangens aus Höhe und Grundkante; außerdem konstruiert sie den Abstand von S zur Grundfläche und vom Mittelpunkt O zur Seitenfläche (SBC). Die Schaltfläche 2D | 3D wechselt zu einer echten 3D-Pyramide (WebGL) mit der Geraden, ihrer Projektion auf die Grundfläche, dem markierten Winkel φ und der Strecke OH senkrecht zu (SBC); ziehen Sie zum Drehen, zoomen Sie mit Mausrad oder zwei Fingern.

Lektion: Lot auf eine Ebene, Winkel zwischen Gerade und Ebene, Abstand Punkt–Ebene

Was sie zeigt

Der Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene ist der Winkel zwischen der Geraden und ihrer senkrechten Projektion auf die Ebene. In einer regelmäßigen Pyramide wird die Spitze S auf den Mittelpunkt O der Grundfläche projiziert; die Projektion der Seitenkante SA ist daher OA, und der Winkel ist SAO mit tan φ = h/OA. Für die Seitenhöhe SM ist es der Winkel SMO mit tan φ = h/OM, zugleich der Winkel zwischen Seitenfläche (SBC) und Grundfläche. Da BC senkrecht auf der Ebene (SOM) steht, ist das Lot OH von O auf SM auch senkrecht zur Seitenfläche (SBC), also d(O, (SBC)) = SO·OM/SM.

So funktioniert es

Wählen Sie die Grundfläche der Pyramide, stellen Sie Grundkante a und Höhe SO = h ein und wählen Sie die Gerade, deren Winkel mit der Grundfläche untersucht wird. Drehen Sie die Figur, bis das rechtwinklige Dreieck SOA oder SOM gut sichtbar ist. Vergrößern Sie h und sagen Sie die Änderung von φ voraus. Aktivieren Sie Abstand von O zur Seitenfläche (SBC) zeigen, um OH zu sehen, und nutzen Sie die Schaltfläche 2D | 3D für eine echte, dreh- und zoombare 3D-Ansicht.

Einstellbare Parameter

  • Grundfläche der Pyramide Quadrat ABCD (regelmäßige vierseitige Pyramide), Gleichseitiges Dreieck ABC (regelmäßige dreiseitige Pyramide)
  • Grundkante a 2–6
  • Höhe SO = h 1–6
  • Gerade, deren Winkel mit der Grundfläche untersucht wird Seitenkante SA, Seitenhöhe SM (M ist Mittelpunkt von BC)
  • Abstand von O zur Seitenfläche (SBC) zeigen

Fragen zum Erkunden

  1. Welcher Winkel ist größer: der zwischen SA und Grundfläche oder der zwischen SM und Grundfläche? Warum?
  2. Wie ändern sich beide Winkel, wenn die Höhe h wächst und die Grundkante a gleich bleibt?
  3. Warum liegt das Lot von O auf die Seitenfläche (SBC) in der Ebene (SOM)?

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