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Ángulo entre recta y plano, distancias en una pirámide regular

MatemáticasGeometría del espacioEdades 16–17

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Usar con mi clase

Una pirámide regular S.ABCD (o S.ABC) se puede girar con el ratón o con el dedo. La simulación construye la proyección de la arista lateral SA (o de la apotema SM) sobre la base, sombrea el ángulo entre la recta y el plano y muestra la tangente de ese ángulo en función de la altura y la arista de la base; también construye la distancia de S a la base y del centro O a la cara lateral (SBC). El botón 2D | 3D cambia a una pirámide en 3D real (WebGL) con la recta, su proyección sobre la base, el ángulo φ sombreado y el segmento OH perpendicular a (SBC); arrastra para girar y usa la rueda o pellizca para ampliar.

Lección: Recta perpendicular a un plano, ángulo entre recta y plano, distancia de un punto a un plano

Qué muestra

El ángulo entre una recta y un plano es el que forma la recta con su proyección ortogonal. En una pirámide regular, el vértice S se proyecta en el centro O de la base, así que la proyección de la arista lateral SA es OA y el ángulo es SAO, con tan φ = h/OA; para la apotema SM el ángulo es SMO, con tan φ = h/OM, que es también el ángulo entre la cara (SBC) y la base. Como BC es perpendicular al plano (SOM), la perpendicular OH de O a SM es también perpendicular a la cara (SBC), de modo que d(O, (SBC)) = SO·OM/SM.

Cómo usarla

Elige la Base de la pirámide, fija la Arista de la base a y la Altura SO = h, y selecciona la Recta cuyo ángulo con la base se estudia. Gira la figura hasta ver claramente el triángulo rectángulo SOA o SOM. Aumenta h y predice cómo cambiará φ. Activa Mostrar la distancia de O a la cara lateral (SBC) para ver OH y usa el botón 2D | 3D para una vista tridimensional real que se puede girar y ampliar.

Parámetros que puedes cambiar

  • Base de la pirámide Cuadrado ABCD (pirámide cuadrangular regular), Triángulo equilátero ABC (pirámide triangular regular)
  • Arista de la base a 2–6
  • Altura SO = h 1–6
  • Recta cuyo ángulo con la base se estudia Arista lateral SA, Apotema SM (M es el punto medio de BC)
  • Mostrar la distancia de O a la cara lateral (SBC)

Preguntas para explorar

  1. ¿Qué ángulo es mayor, el de SA con la base o el de SM con la base? ¿Por qué?
  2. ¿Cómo cambian ambos ángulos cuando la altura h aumenta y la arista de la base a no cambia?
  3. ¿Por qué la perpendicular trazada desde O a la cara (SBC) está en el plano (SOM)?

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