Integral como limite de somas de áreas de retângulos

O que mostra

A área entre a curva y = f(x) e o eixo x em [a, b] é aproximada por n retângulos (esquerda, direita, ponto médio) ou trapézios; quando n cresce, a soma de Riemann se aproxima da integral definida F(b) − F(a). Outras telas mostram a área com sinal (o que fica abaixo do eixo conta como negativo, integral líquida versus área total), as propriedades ∫ₐᵇ + ∫ᵇᶜ = ∫ₐᶜ, os limites invertidos e a linearidade, o valor médio de f com o ponto c em que f(c) o atinge, a integral imprópria de 1/xᵖ de 1 a ∞, que só converge para p > 1, e um tanque cuja quantidade é a integral da vazão líquida.

Como usar

Use Tela para escolher uma visualização. Em Somas de Riemann, arraste a e b, mude o Número de retângulos n e compare Esquerda, Direita, Ponto médio e Trapézio; Iniciar aumenta n. Nas outras telas, arraste os limites no gráfico e escolha uma Função; em Propriedades da integral, alterne entre Aditividade, Limites invertidos e Linearidade. Em Integral imprópria, ajuste p e clique em Fazer b → ∞. No tanque, ajuste a Vazão de entrada e a Vazão de saída e clique em Iniciar.

Parâmetros que você pode mudar

• Função f(x) = x², f(x) = sin x + 1, f(x) = x³ − 3x + 3, v(t) = 2t + 1 (velocidade, m/s)
• Limite inferior a -3–5
• Limite superior b -3–5
• Número de retângulos n 1–200
• Ponto que define a altura Extremo esquerdo, Extremo direito, Ponto médio, Trapézio
• Tela Somas de Riemann, Área com sinal, Propriedades da integral, Valor médio, Integral imprópria, Entrada e saída (tanque)

Perguntas para explorar

1. Para f(x) = x² em [0, 2], por que a soma pelo extremo esquerdo é sempre menor que a integral?
2. Por que a integral de 1/x² de 1 a ∞ converge, enquanto a de 1/x diverge?
3. Se f(x) é negativa em todo o intervalo [a, b], qual é o sinal da soma Sₙ?