Otimização no dia a dia com derivadas

O que mostra

Três problemas reais mostram o processo completo de otimização com derivadas: montar uma função objetivo, restringi-la a um domínio que faça sentido e localizar seu máximo ou mínimo. Uma lata cilíndrica de volume fixo usa o mínimo de material quando sua altura é igual ao diâmetro. Uma caixa sem tampa feita de uma folha quadrada de lado a tem volume máximo quando se cortam quadrados de lado a/6 nos cantos. A função lucro L(g) = (g − c)(2000 − 10g) atinge o máximo em g = 100 + c/2. Em cada caso, o ótimo está onde f'(x) muda de sinal.

Como usar

Escolha um Problema e mova o controle deslizante da variável (Raio da base r, Lado do corte x ou Preço de venda g): o desenho, os gráficos de f(x) e f'(x) e a tabela de variação mudam juntos. Os alunos localizam o ótimo pelo sinal da derivada antes de lê-lo. Depois mude o parâmetro do problema (Volume da lata, Lado do papelão a ou Custo unitário c) e veja como o ótimo se desloca; no caso da lata, discuta por que as latas reais são diferentes.

Parâmetros que você pode mudar

• Problema Lata com o mínimo de material, Caixa sem tampa de volume máximo, Preço de venda de lucro máximo
• Valor da variável (fração do domínio) 0,02–0,98
• Parâmetro do problema (volume da lata mL / lado do papelão cm / custo unitário c) 10–500
• Moeda (problema do preço de venda) Conforme o idioma, Dólar americano, Euro, Rupia indiana, Rupia indonésia, Rial saudita

Perguntas para explorar

1. Na lata que usa o mínimo de material, como a altura se compara com o diâmetro da base?
2. Por que é preciso achar o domínio da variável antes de montar a tabela de variação?
3. Se f'(x) = 0 num ponto, esse ponto é sempre o ótimo? O que deve acontecer ali com o sinal de f'(x)?