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Função exponencial y = aˣ e função logarítmica y = logₐx

MatemáticaFunções e gráficosIdades 16–17

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Usar com minha turma

Os gráficos de y = aˣ e y = logₐx são simétricos em relação à reta y = x. Arraste o ponto M no gráfico exponencial e seu simétrico M' se move no gráfico logarítmico; mova o controle a para ver a função crescente quando a > 1 e decrescente quando 0 < a < 1. A tela Propriedades mostra um logaritmo como expoente numa escala de potências de b, as propriedades do produto e do quociente numa régua de cálculo, a propriedade da potência, a mudança de base e b^(x+k) = b^k·b^x como transformações de gráficos; a tela Equações resolve A·b^(ct) = d graficamente e com logaritmos, incluindo tempo de duplicação e meia-vida. A tela Base e mostra por que e é especial: só com a = e a inclinação de aˣ é igual ao seu valor; a derivada de e^(kx) é k·e^(kx); ln x é a área sob y = 1/t e o simétrico de eˣ em relação a y = x; e (1 + 1/n)ⁿ → e se liga à capitalização contínua.

Aula: Função exponencial, função logarítmica

O que mostra

A função exponencial y = aˣ e o logaritmo y = logₐx são inversos, então seus gráficos são simétricos em relação a y = x. Um logaritmo é um expoente; as propriedades log(xy) = log x + log y, log(x/y) = log x − log y e log(xᵏ) = k·log x vêm das propriedades das potências, e aplicar logaritmos resolve A·b^(ct) = d. O número e ≈ 2,718 é a única base em que a inclinação de aˣ iguala seu valor: a derivada de e^(kx) é k·e^(kx). ln x é a área sob y = 1/t de 1 até x, e (1 + 1/n)ⁿ tende a e.

Como usar

Em Gráficos, mova o controle Base a acima e abaixo de 1 e arraste o ponto M sobre y = aˣ. Em Propriedades, escolha uma Propriedade e uma Base e arraste na figura. Em Equações, ajuste A, b, c e d ou escolha um Problema e marque Eixo y logarítmico. Em Base e, escolha uma Visão, mude a ou clique em a = e, mude k ou ajuste n e r, e arraste no gráfico.

Parâmetros que você pode mudar

  • Base a (a > 0, a ≠ 1) 0,1–5
  • Abscissa inicial do ponto M -3–3
  • Aplicação mostrada Só o gráfico, Crescimento populacional (×a por período), Decaimento radioativo (resta a da quantidade por período, a < 1)
  • Mostrar gráfico y = logₐx
  • Mostrar a reta y = x e o par de pontos simétricos
  • Tela Gráficos, Propriedades, Equações, Base e
  • Propriedade dos logaritmos Um logaritmo é um expoente, Produto: log(xy), Quociente: log(x/y), Potência: log(xᵏ), log(kx): translação, Mudança de base, bˣ⁺ᵏ = bᵏ·bˣ
  • Base b (propriedades) 2, 3, 10, e
  • Valor x (propriedades) 0,1–100
  • Valor y (régua de cálculo) 0,1–10
  • Parâmetro k -3–10
  • Nova base c 2, 3, 10, e
  • Valor inicial A 1–1000
  • Base b (equação) 0,5–3
  • Constante c 0,1–12
  • Valor-alvo d 1–5000
  • Problema Escolher d, Tempo de duplicação (d = 2A), Meia-vida (d = A/2)
  • Eixo y logarítmico
  • Base e: visão Inclinação de aˣ, Inclinação de e^(kx), ln x como área, (1 + 1/n)ⁿ → e
  • Base a (tela Base e) 1,2–4
  • Constante k em y = e^(kx) -2–2
  • Coordenada x do ponto de tangência -3–2
  • Limite superior x da área sob y = 1/t 0,1–8
  • Número de períodos de capitalização n 1–1000000
  • Taxa de juros anual r 1–100 %

Perguntas para explorar

  1. Usando a simetria de y = aˣ em relação a y = x, por que logₐx só é definido para x > 0?
  2. Se M(2; 4) está em y = 2ˣ, qual ponto deve estar em y = log₂x?
  3. Uma população é multiplicada por 1,1 a cada período. Depois de quantos períodos ela dobrou?

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