A fração (ax + b)/(cx + d): condição de existência e gráfico

O que mostra

Uma expressão racional como (ax + b)/(cx + d) só tem valor onde o denominador não é zero, por isso a condição de existência exclui x = −d/c. No gráfico, essa regra aparece como uma quebra visível da curva. Perto do valor excluído o denominador é muito pequeno e o valor cresce sem limite, o que gera uma assíntota vertical; para |x| grande o valor se aproxima de a/c, a assíntota horizontal. Quando ad − bc = 0, o numerador é múltiplo do denominador: a expressão se simplifica em uma constante e o gráfico vira uma reta horizontal com um ponto faltando.

Como usar

Comece com os coeficientes padrão e arraste o ponto P pelo gráfico, lendo o valor da expressão em vários valores de x, alguns bem perto da quebra. Mude o Coeficiente c e o Coeficiente d e peça aos alunos que prevejam para onde a quebra vai se mover antes de olhar; depois ative Mostrar assíntotas para conferir. Em seguida escolha a, b, c, d com ad − bc = 0, por exemplo 2, 4, 1, 2, e procure o ponto vazio.

Parâmetros que você pode mudar

• Coeficiente a (numerador) -6–6
• Coeficiente b (numerador) -6–6
• Coeficiente c (denominador) -6–6
• Coeficiente d (denominador) -6–6
• Mostrar assíntotas
• Intervalo dos eixos (−R … R) 4–20

Perguntas para explorar

1. Que valor de x deve ser excluído da condição de existência de (x + 2)/(x − 1), e o que o gráfico faz ali?
2. Por que o gráfico nunca pode cruzar a reta vertical x = −d/c?
3. Que tipo de expressão, e que tipo de gráfico, você obtém quando o Coeficiente c é 0?