الجبر والقطوع المخروطية – الأنظمة الخطية، الاستقراء ونظرية ذات الحدين، القطوع المخروطية

ماذا تعرض

تشترك ثلاثة موضوعات في صفحة واحدة. يصف النظام المكوّن من ثلاث معادلات خطية ثلاثة مستويات؛ وتحوّله طريقة الحذف لغاوس إلى الشكل المثلثي، ويبيّن الصف الأخير هل تتقاطع المستويات في نقطة واحدة، أم لا نقطة مشتركة بينها (صف نصّه 0 = 1)، أم تشترك في عدد لا نهائي من النقاط (صف نصّه 0 = 0). يتبع مثلث باسكال القاعدة C(n; k) = C(n − 1; k − 1) + C(n − 1; k)، ويعطي معاملات (a + b)ⁿ ويدعم البرهان بالاستقراء. وتُعرَّف القطوع المخروطية معًا بأنها النقاط M التي تحقق MF = e·d(M, Δ): قطع ناقص إذا e < 1، وقطع مكافئ إذا e = 1، وقطع زائد إذا e > 1.

طريقة الاستخدام

اختر «الموضوع الحالي». للنظام، اختر «نظام مثال من ثلاث معادلات»، وانقر «الخطوة التالية» لكل عملية حذف واقرأ الصف الأخير؛ ويقارن «تبديل النظام» بين الحالات الثلاث. لمثلث باسكال، انقر «إضافة صف (n + 1)» وانقر خلية لترى العددين اللذين نتجت عنهما. للقطوع، غيّر «الاختلاف المركزي e للقطع» أو انقر «زيادة e»، واسحب النقطة M لتتحقق من أن MF/d(M, Δ) تبقى مساوية للعدد e.

المعاملات القابلة للتغيير

• الموضوع الحالي 1. نظام من ثلاث معادلات خطية, 2. الاستقراء الرياضي ونظرية ذات الحدين, 3. القطوع المخروطية وتطبيقاتها
• نظام مثال من ثلاث معادلات نظام له حل وحيد, نظام لا حل له, نظام له عدد لا نهائي من الحلول
• الأس n في (a + b)ⁿ وعدد حدود المجموع 1–10
• الاختلاف المركزي e للقطع 0.2–2.4
• إظهار التسميات والقيم التفصيلية

أسئلة للاستكشاف

1. أي صف من المصفوفة المختزلة يبيّن أن نظامًا من ثلاث معادلات خطية لا حل له؟
2. ما مجموع الأعداد في الصف n من مثلث باسكال، ولماذا؟
3. عند أي قيمة للاختلاف المركزي e يكون القطع مكافئًا، وماذا يحدث للمنحنى عندما تتجاوزها e؟