التكامل المحدد – نهاية مجموع مساحات المستطيلات

ماذا تعرض

تُقرَّب المساحة بين المنحنى y = f(x) ومحور السينات على [a, b] بعدد n من المستطيلات (الطرف الأيسر، الطرف الأيمن، نقطة المنتصف) أو أشباه المنحرف؛ وكلما كبرت n اقترب مجموع ريمان من التكامل المحدد F(b) − F(a). وتعرض شاشات أخرى المساحة الموجّهة (المناطق تحت المحور تُحسب سالبة، والتكامل الصافي مقابل المساحة الكلية)، والخواص ∫ₐᵇ + ∫ᵇᶜ = ∫ₐᶜ وعكس الحدين والخطية، والقيمة المتوسطة للدالة f مع النقطة c التي تساويها عندها f(c)، والتكامل المعتل للدالة 1/xᵖ من 1 إلى ∞ الذي لا يتقارب إلا عندما p > 1، وخزانًا تساوي كمية الماء فيه تكامل معدل التدفق الصافي.

طريقة الاستخدام

استخدم «الشاشة» لاختيار العرض. في «مجاميع ريمان» اسحب a و b، وغيّر «عدد المستطيلات n»، وقارن بين «يسار» و«يمين» و«منتصف» و«شبه منحرف»؛ ويزيد الزر «ابدأ» قيمة n. في الشاشات الأخرى اسحب الحدود على التمثيل البياني واختر «الدالة»؛ وفي «خواص التكامل» بدّل بين «خاصية الجمع» و«عكس الحدين» و«الخطية». في «التكامل المعتل» اضبط p واضغط «اجعل b → ∞». وفي شاشة الخزان اضبط «التدفق الداخل» و«التدفق الخارج» واضغط «ابدأ».

المعاملات القابلة للتغيير

• الدالة f(x) = x², f(x) = sin x + 1, f(x) = x³ − 3x + 3, v(t) = 2t + 1 (السرعة، m/s)
• الحد الأدنى a -3–5
• الحد الأعلى b -3–5
• عدد المستطيلات n 1–200
• نقطة أخذ الارتفاع الطرف الأيسر, الطرف الأيمن, نقطة المنتصف, شبه المنحرف
• الشاشة مجاميع ريمان, المساحة الموجّهة, خواص التكامل, القيمة المتوسطة, التكامل المعتل, تدفق داخل – تدفق خارج (خزان)

أسئلة للاستكشاف

1. للدالة f(x) = x² على [0, 2]، لماذا يكون مجموع الطرف الأيسر أصغر من التكامل دائمًا؟
2. لماذا يتقارب تكامل 1/x² من 1 إلى ∞ بينما يتباعد تكامل 1/x؟
3. إذا كانت f(x) سالبة على الفترة [a, b] كلها، فما إشارة المجموع Sₙ؟