المعدلات المرتبطة – سلم ينزلق، مخروط يمتلئ، موجة تتسع، بالون وظل

ماذا تعرض

في مسألة المعدلات المرتبطة تتغير كمية بمعدل معلوم، ونريد معدل تغير كمية أخرى مرتبطة بها. اكتب العلاقة بين الكميتين (مبرهنة فيثاغورس للسلم، V = πR²h³/(3H²) للمخروط، A = πr²، V = 4πr³/3، والمثلثات المتشابهة للظل)، ثم اشتق الطرفين بالنسبة إلى الزمن t باستخدام قاعدة السلسلة، وعوّض بالقيم عند اللحظة المطلوبة. تحرّك المحاكاة كل حالة وتتحقق من الجواب بالنسبة Δ/Δt خلال 0.001 s. انظر أيضًا محاكاة «الحركة على مستقيم بالتفاضل» ومحاكاة «التحسين بالمشتقات في مسائل من الواقع».

طريقة الاستخدام

اختر «الموقف»، واضبط المعدل المعطى والأبعاد بالمنزلقات، ثم اضغط «تشغيل» أو اسحب منزلق «اللحظة» لاختيار لحظة معينة. اقرأ المؤشرات الثلاثة (المعدل المعطى ومعدلين مشتقين)، والتمثيلين البيانيين للكمية ومعدلها مع t، والخطوات المرقمة أسفلها. فعّل «التحقق عبر Δ/Δt» للمقارنة بالفرق المنتهي، واضغط «إعادة الضبط» للبدء من جديد.

المعاملات القابلة للتغيير

• الموقف سلم ينزلق على جدار, ملء خزان مخروطي, موجة تتسع على سطح بركة, نفخ بالون, الابتعاد عن عمود إنارة
• طول السلم L 3–12 m
• معدل انزلاق قاعدة السلم إلى الخارج dx/dt 0.1–2 m/s
• نصف قطر فوهة الخزان R 4–15 cm
• ارتفاع الخزان H 10–30 cm
• معدل التدفق dV/dt (السالب = تفريغ) -100–100 cm³/s
• معدل اتساع الموجة dr/dt 0.1–2 m/s
• معدل النفخ dV/dt 20–500 cm³/s
• ارتفاع عمود الإنارة H 3–10 m
• طول الشخص h 1–2.2 m
• سرعة المشي dx/dt 0.2–3 m/s
• إظهار التحقق عبر Δ/Δt
• التشغيل تلقائيًا عند الفتح

أسئلة للاستكشاف

1. تنزلق قاعدة السلم إلى الخارج بمعدل ثابت، فلماذا يهبط طرفه العلوي بسرعة متزايدة؟
2. يتدفق الماء إلى المخروط بمعدل ثابت؛ كيف يتغير dh/dt عندما يتضاعف العمق؟
3. لماذا يتحرك طرف الظل بالسرعة نفسها سواء أكان الشخص قريبًا من المصباح أم بعيدًا عنه؟