L'intégrale comme limite d'une somme d'aires de rectangles

Ce qu’elle montre

L'aire entre la courbe y = f(x) et l'axe des abscisses sur [a ; b] est approchée par n rectangles (à gauche, à droite, au milieu) ou par des trapèzes ; quand n augmente, la somme de Riemann tend vers l'intégrale F(b) − F(a). D'autres écrans montrent l'aire algébrique (ce qui est sous l'axe compte négativement, intégrale contre aire totale), la relation de Chasles, l'inversion des bornes et la linéarité, la valeur moyenne de f avec le point c où f(c) l'atteint, l'intégrale généralisée de 1/xᵖ de 1 à +∞, convergente seulement pour p > 1, et une cuve dont la quantité est l'intégrale du débit net.

Mode d’emploi

Choisissez une vue avec Écran. Sur Sommes de Riemann, faites glisser a et b, modifiez le Nombre de rectangles n et comparez Gauche, Droite, Milieu et Trapèzes ; Lancer augmente n. Sur les autres écrans, faites glisser les bornes sur le graphique et choisissez une Fonction ; dans Propriétés de l'intégrale, passez de Relation de Chasles à Bornes inversées ou Linéarité. Sur Intégrale généralisée, réglez p puis cliquez sur Faire b → +∞. Pour la cuve, réglez le Débit entrant et le Débit sortant, puis cliquez sur Lancer.

Paramètres modifiables

• Fonction f(x) = x², f(x) = sin x + 1, f(x) = x³ − 3x + 3, v(t) = 2t + 1 (vitesse, m/s)
• Borne inférieure a -3–5
• Borne supérieure b -3–5
• Nombre de rectangles n 1–200
• Point de calcul de la hauteur Extrémité gauche, Extrémité droite, Milieu, Trapèzes
• Écran Sommes de Riemann, Aire algébrique, Propriétés de l'intégrale, Valeur moyenne, Intégrale généralisée, Débit entrant – sortant (cuve)

Questions à explorer

1. Pour f(x) = x² sur [0, 2], pourquoi la somme à gauche est-elle toujours inférieure à l'intégrale ?
2. Pourquoi l'intégrale de 1/x² de 1 à +∞ converge-t-elle alors que celle de 1/x diverge ?
3. Si f(x) est négative sur tout l'intervalle [a, b], quel est le signe de la somme Sₙ ?