La integral como límite de áreas de rectángulos

Qué muestra

El área entre la curva y = f(x) y el eje x en [a, b] se aproxima con n rectángulos (izquierda, derecha, punto medio) o trapecios; al crecer n, la suma de Riemann se acerca a la integral definida F(b) − F(a). Otras pantallas muestran el área con signo (lo que queda bajo el eje cuenta como negativo, integral neta frente a área total), las propiedades ∫ₐᵇ + ∫ᵇᶜ = ∫ₐᶜ, los límites invertidos y la linealidad, el valor medio de f con el punto c donde f(c) lo alcanza, la integral impropia de 1/xᵖ de 1 a ∞, que solo converge si p > 1, y un depósito cuya cantidad es la integral del caudal neto.

Cómo usarla

Usa Pantalla para elegir una vista. En Sumas de Riemann, arrastra a y b, cambia el Número de rectángulos n y compara Izquierda, Derecha, Punto medio y Trapecio; Iniciar aumenta n. En las demás pantallas, arrastra los límites sobre la gráfica y elige una Función; en Propiedades de la integral alterna entre Aditividad, Límites invertidos y Linealidad. En Integral impropia, fija p y pulsa Hacer b → ∞. En el depósito, ajusta el Caudal de entrada y el Caudal de salida y pulsa Iniciar.

Parámetros que puedes cambiar

• Función f(x) = x², f(x) = sin x + 1, f(x) = x³ − 3x + 3, v(t) = 2t + 1 (velocidad, m/s)
• Límite inferior a -3–5
• Límite superior b -3–5
• Número de rectángulos n 1–200
• Punto donde se toma la altura Extremo izquierdo, Extremo derecho, Punto medio, Trapecio
• Pantalla Sumas de Riemann, Área con signo, Propiedades de la integral, Valor medio, Integral impropia, Entrada y salida (depósito)

Preguntas para explorar

1. Para f(x) = x² en [0, 2], ¿por qué la suma por el extremo izquierdo es siempre menor que la integral?
2. ¿Por qué la integral de 1/x² de 1 a ∞ converge, mientras que la de 1/x diverge?
3. Si f(x) es negativa en todo el intervalo [a, b], ¿qué signo tiene la suma Sₙ?