إيجاد الجذور عدديًا – تغير الإشارة والتنصيف والتكرار ونيوتن–رافسون

ماذا تعرض

إذا كانت f متصلة على [a, b] وكانت إشارتا f(a) و f(b) مختلفتين، فإن مبرهنة القيمة الوسطى تضمن وجود جذر بين a و b. ويضيّق البحث العشري والتنصيف هذه الفترة؛ فالتنصيف ينجح دائمًا لكنه لا يضيف إلا نحو 0.3 رقم صحيح في كل خطوة. وإعادة كتابة f(x) = 0 على الصورة x = g(x) تعطي التكرار xₙ₊₁ = g(xₙ)، الذي يتقارب قرب الجذر α عندما |g′(α)| < 1. أما طريقة نيوتن–رافسون فتستخدم المماس: xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)، وقرب الجذر البسيط يتضاعف عدد الأرقام الصحيحة تقريبًا في كل خطوة.

طريقة الاستخدام

في شاشة «تغير الإشارة» اختر «الدالة f(x)»، واضبط a و b و«الخطوة» h، ثم اضغط «تكبير موضع تغير الإشارة» أو اضغط شريطًا أخضر. في «التنصيف» اسحب a و b واضغط «الخطوة التالية» أو «ابدأ» أو «حتى النهاية». في «التكرار» اختر صيغة x = g(x) واضبط x₀. وفي «نيوتن–رافسون» اسحب على التمثيل البياني لتحريك x₀ وراقب المماسات والجدول.

المعاملات القابلة للتغيير

• الشاشة تغير الإشارة, التنصيف, التكرار, نيوتن–رافسون
• الدالة f(x) x³ − x − 1, x³ − 3x + 1 (ثلاثة جذور), x³ − 2x + 2, x² − a (طريقة هيرون لحساب √a), cos x − x, eˣ − 3x (جذران), x² − 4.6x + 5.28 (جذران متقاربان), (x − 1)² (جذر مكرر), 1/(x − 1) (خط تقارب رأسي), ∛x
• العدد a في f(x) = x² − a 1–50
• الطرف الأيسر a للفترة -10–10
• الطرف الأيمن b للفترة -10–10
• الخطوة h لجدول القيم (شاشة تغير الإشارة) 0.0001–1
• الصيغة x = g(x) (شاشة التكرار) x = ∛(x + 1), x = √(1 + 1/x), x = 1/x + 1/x², x = x³ − 1, x = cos x, x = (x² + 1)/3
• القيمة الابتدائية x₀ (شاشة التكرار) -5–5
• القيمة الابتدائية x₀ (شاشة نيوتن–رافسون) -10–10

أسئلة للاستكشاف

1. لماذا تتغير إشارة 1/(x − 1) بين 0.7 و 1.2 مع أن المعادلة 1/(x − 1) = 0 ليس لها جذر؟
2. أيّ صيغ إعادة كتابة x³ − x − 1 = 0 تتقارب، وكيف تفسّر قيمة g′(α) ذلك؟
3. لماذا تتقارب طريقة نيوتن–رافسون للدالة (x − 1)² أبطأ بكثير منها للدالة x³ − x − 1؟