حجوم المجسمات الدورانية – الأقراص والحلقات والأغلفة الأسطوانية والمقاطع العرضية

ماذا تعرض

تُدوَّر منطقة مستوية يحدها y = f(x) و y = g(x) و x = a و x = b حول محور لتكوّن مجسمًا. الشرائح العمودية على المحور أقراص أو حلقات حجم كل منها π(R² − r²)Δx؛ أما الشرائح الموازية لمحور رأسي فهي أغلفة أسطوانية حجم كل منها 2πρhΔx. وكلما زاد عدد الشرائح n اقترب مجموعها من التكامل المحدد، الذي تحسبه المحاكاة بدقة من الدوال الأصلية وتكتبه مضاعفًا لـ π متى أمكن. ويرصّ وضع ثانٍ مقاطع عرضية مربعة أو نصف دائرية أو مثلثية فوق منطقة القاعدة.

طريقة الاستخدام

اختر f(x) و g(x) والحدين a و b، ثم اختر «محور الدوران»، واختر «طريقة التقسيم» إذا كان المحور رأسيًا. اضغط «تدوير المنطقة 360°» لترى المنطقة تكوّن المجسم، واسحب «الشريحة المعروضة (صفراء)» لتقرأ R و r وحجم شريحة واحدة. زِد n أو اضغط «تشغيل» لترى Sₙ يقترب من V. جرّب أمثلة «مزهرية» و«وعاء» و«كرة» و«مخروط» و«حلقة»، أو انتقل إلى «مقاطع عرضية معلومة».

المعاملات القابلة للتغيير

• الوضع مجسم دوراني, مقاطع عرضية معلومة
• العرض 3D, 2D (شكل مستوٍ)
• المنحنى y = f(x) y = √x, y = x/2, y = x²/4, y = 1, y = 2, y = √(4 − (x − 2)²) (نصف دائرة), y = 1.3 + 0.7·sin(0.4πx) (مزهرية), y = sin x, y = e^(x/4)
• المنحنى y = g(x) y = 0 (محور السينات), y = √x, y = x/2, y = x²/4, y = 1, y = 2, y = √(4 − (x − 2)²) (نصف دائرة), y = 1.3 + 0.7·sin(0.4πx) (مزهرية), y = sin x, y = e^(x/4)
• الحد الأدنى a 0–4
• الحد الأعلى b 0–4
• محور الدوران محور السينات (y = 0), المستقيم y = k, محور الصادات (x = 0), المستقيم x = k
• موضع المستقيم k (y = k أو x = k) -2–5
• طريقة التقسيم عند محور رأسي أقراص / حلقات (عمودية على المحور), أغلفة أسطوانية (موازية للمحور)
• شكل المقطع العرضي مربع طول ضلعه s, نصف دائرة قطرها s, مثلث متطابق الأضلاع، ضلعه s, مثلث قائم متطابق الضلعين، ساقه s
• عدد الشرائح n 1–100

أسئلة للاستكشاف

1. تدوير المنطقة تحت y = x/2 على [0, 4] حول محور السينات يعطي أي مخروط، وهل يطابق V القيمة ⅓πr²h؟
2. عند تدوير المنطقة بين y = x/2 و y = x²/4 حول محور السينات، لماذا يجب طرح π∫r²dx؟
3. في حالة الوعاء، هل تعطي الأغلفة الأسطوانية والحلقات الأفقية الحجم نفسه؟