Parabole et tangente en un point mobile

Ce qu’elle montre

Le nombre dérivé en x₀ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse x₀. Pour la parabole y = ax² + bx + c, la dérivée y′ = 2ax + b est affine : la pente varie donc à vitesse constante quand le point se déplace. La tangente en M(x₀ ; y₀) a pour équation y = y′(x₀)(x − x₀) + y₀. Elle est horizontale exactement au sommet, où 2ax₀ + b = 0, et reste d'un seul côté de la parabole en ne la touchant qu'en M : une meilleure image de la tangence que « couper la courbe une fois ».

Mode d’emploi

Réglez Coefficient a, Coefficient b et Coefficient c pour choisir la parabole, et Abscisse initiale de M pour placer le point. Les élèves font ensuite glisser M le long de la courbe et suivent la pente k et l'équation de la tangente affichées sous le graphique. Demandez-leur où la tangente est horizontale, où la pente est négative, et comment k évolue quand M va de gauche à droite.

Paramètres modifiables

• Coefficient a -5–5
• Coefficient b -10–10
• Coefficient c -10–10
• Abscisse initiale de M -8–8

Questions à explorer

1. En quel point de la parabole la tangente est-elle parallèle à l'axe des abscisses, et quel est le lien avec le sommet ?
2. Quelle est l'équation de la tangente à y = x² − 2x − 3 au point d'abscisse x₀ = 2 ?
3. Comment la pente k évolue-t-elle quand M va de gauche à droite, et que change un coefficient a négatif ?