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Plans et sphères dans l'espace – distance du centre au plan

MathématiquesVecteurs et géométrie repérée17–18 ans

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Utiliser avec ma classe

Dans un repère Oxyz que l'on peut faire tourner, le plan (P) : Ax + By + Cz + D = 0 et une sphère de centre I et de rayon R sont tracés avec le vecteur normal n = (A ; B ; C) et le segment perpendiculaire IH. La simulation calcule d(I, (P)) avec la formule de la distance et la compare à R pour montrer si le plan coupe la sphère selon un cercle (tracé, de rayon r = √(R² − d²)), lui est tangent ou ne la rencontre pas. Le bouton 2D | 3D ouvre une vraie vue 3D (three.js) : sphère transparente, plan (P), segment IH et cercle d'intersection (ou point de contact), que vous pouvez faire tourner et agrandir.

Leçon : Équation cartésienne d'un plan, équation d'une sphère, distance d'un point à un plan

Ce qu’elle montre

Dans un repère de l'espace, le plan Ax + By + Cz + D = 0 a pour vecteur normal n = (A ; B ; C), et la distance d'un point I(x₀ ; y₀ ; z₀) à ce plan vaut d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D|/√(A² + B² + C²). Comparer d au rayon R d'une sphère de centre I donne leur position relative : si d < R, le plan coupe la sphère selon un cercle de centre H, projeté orthogonal de I, et de rayon √(R² − d²) ; si d = R, il est tangent en H ; si d > R, ils n'ont aucun point commun.

Mode d’emploi

Réglez Coefficient A du plan, Coefficient B et Coefficient C pour fixer la direction normale, puis modifiez Coefficient D et regardez le plan glisser parallèlement à lui-même. Choisissez un Centre I de la sphère et ajustez Rayon R. Demandez aux élèves de prévoir la position relative à partir de d(I, (P)) affiché dans le panneau d'information avant de regarder la figure. Le bouton 3D ouvre une vue orientable ; Vue de départ rétablit la caméra.

Paramètres modifiables

  • Coefficient A du plan -4–4
  • Coefficient B -4–4
  • Coefficient C -4–4
  • Coefficient D -8–8
  • Centre I de la sphère (réglable aussi avec les curseurs) I(0 ; 0 ; 0), I(1 ; 1 ; 1), I(2 ; −1 ; 1), I(−1 ; 2 ; 2)
  • Rayon R 0,5–4

Questions à explorer

  1. À A, B et C fixés, quelles valeurs de D rendent le plan tangent à la sphère ?
  2. Quand le rayon du cercle d'intersection est-il égal au rayon R de la sphère ?
  3. Quel rôle le point H joue-t-il pour le cercle d'intersection, et quelle est la position du segment IH par rapport au plan ?

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