Planos y esferas en el espacio – distancia del centro al plano
MatemáticasVectores y geometría analíticaEdades 17–18
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En un sistema de coordenadas Oxyz que se puede girar, se dibujan el plano (P): Ax + By + Cz + D = 0 y una esfera de centro I y radio R, junto con el vector normal n = (A; B; C) y el segmento perpendicular IH. La simulación calcula d(I, (P)) con la fórmula de la distancia y la compara con R para mostrar si el plano corta la esfera en una circunferencia (dibujándola, con radio r = √(R² − d²)), es tangente a ella o no la toca. El botón 2D | 3D abre una vista 3D real (three.js): esfera transparente, plano (P), segmento IH y circunferencia de intersección (o punto de tangencia), que puedes girar y ampliar.
Lección: Ecuación del plano, ecuación de la esfera, distancia de un punto a un plano
Qué muestra
En coordenadas espaciales, el plano Ax + By + Cz + D = 0 tiene vector normal n = (A; B; C), y la distancia de un punto I(x₀; y₀; z₀) a él es d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D|/√(A² + B² + C²). Comparar d con el radio R de una esfera de centro I da su posición relativa: si d < R, el plano corta la esfera en una circunferencia de centro H, el pie de la perpendicular desde I, y radio √(R² − d²); si d = R, es tangente en H; si d > R, no se cortan.
Cómo usarla
Ajusta Coeficiente A del plano, Coeficiente B y Coeficiente C para fijar la dirección normal; después cambia Coeficiente D y observa cómo el plano se desplaza paralelo a sí mismo. Elige un Centro I de la esfera y ajusta Radio R. Pide a los estudiantes que predigan la posición relativa a partir de d(I, (P)) en el panel de información antes de mirar el dibujo. El botón 3D abre una vista giratoria; Vista inicial recupera la cámara.
Parámetros que puedes cambiar
- Coeficiente A del plano -4–4
- Coeficiente B -4–4
- Coeficiente C -4–4
- Coeficiente D -8–8
- Centro I de la esfera (también se ajusta con los deslizadores) I(0; 0; 0), I(1; 1; 1), I(2; −1; 1), I(−1; 2; 2)
- Radio R 0,5–4
Preguntas para explorar
- Con A, B y C fijos, ¿qué valores de D hacen que el plano sea tangente a la esfera?
- ¿Cuándo el radio de la circunferencia de intersección es igual al radio R de la esfera?
- ¿Qué papel tiene el punto H en la circunferencia de intersección, y cómo se relaciona el segmento IH con el plano?
