المعادلة المتجهة للمستقيم في الفضاء – المستقيمات المتقاطعة والمتوازية والمتخالفة

ماذا تعرض

في الأبعاد الثلاثة يُكتب المستقيم بالصورة r = a + λb، حيث a متجه موضع نقطة عليه وb متجه اتجاه له. وعلى خلاف المستوى، قد لا يلتقي مستقيمان في الفضاء مع أنهما غير متوازيين، ويسميان عندئذ متخالفين. مساواة المركبات تعطي ثلاث معادلات في λ وμ؛ وحل اثنتين منها ثم التحقق من الثالثة يحدد هل يتقاطع المستقيمان. يعطي الضرب القياسي الزاوية بين المستقيمين، ويعطي الضرب المتجهي أقصر مسافة بين مستقيمين متخالفين. وبالصورة r = a + tv تصف المعادلة نفسها حركة بسرعة ثابتة.

طريقة الاستخدام

اختر «الوضع» واكتب إحداثيات a وb وc وd، أو اختر «مثال». اسحب الخلفية للتدوير، واسحب P(λ) أو Q(μ) على مستقيميهما أو استخدم منزلقي λ وμ. يتحدث الحل أسفل الرسم خطوة بخطوة. بدّل بين 2D و3D، ويعيد زر «العرض الأولي» زاوية النظر. وفي وضع الحركة اضغط «تشغيل» لتحريك الجسمين وراقب رسم المسافة.

المعاملات القابلة للتغيير

• الوضع مستقيم واحد r = a + λb, مستقيمان: متقاطعان أو متوازيان أو متخالفان, بعد نقطة عن مستقيم, مستقيم ومستوى, حركة بسرعة ثابتة r = a + tv
• a (النقطة A، موضع بداية الجسم A) – الإحداثي x -10–10
• a – الإحداثي y -10–10
• a – الإحداثي z -10–10
• b (متجه الاتجاه، سرعة الجسم A) – المركبة x -10–10
• b – المركبة y -10–10
• b – المركبة z -10–10
• c (النقطة C على L₂، النقطة Q، نقطة على المستوى، موضع بداية الجسم B) – الإحداثي x -10–10
• c – الإحداثي y -10–10
• c – الإحداثي z -10–10
• d (اتجاه L₂، المتجه العمودي على المستوى، سرعة الجسم B) – المركبة x -10–10
• d – المركبة y -10–10
• d – المركبة z -10–10
• القيمة الابتدائية للوسيط λ (الزمن t في وضع الحركة) -10–10
• الرسم 3D (three.js), 2D (إسقاط قابل للتدوير)

أسئلة للاستكشاف

1. مستقيمان في الفضاء غير متوازيين ولا يلتقيان. لماذا يستحيل ذلك في المستوى ويمكن هنا؟
2. اسحب P وQ لتجعل |PQ| أصغر ما يمكن. ما علاقة القطعة PQ عندئذ بالمستقيمين؟
3. استعن بالأمثلة: إذا تقاطع مسارا جسمين متحركين، فهل يجب أن يتصادما؟