الدوال المركبة والعكسية – المخططات السهمية والتمثيل البياني والانعكاس في y = x

ماذا تعرض

تُبنى الدالتان f وg من خمس عائلات: الخطية a·x + b، والتربيعية a·x² + b، والأسية a·eˣ + b، والجذر التربيعي a·√x + b، والمقلوب a/x + b. تظهر الدالة المركبة (f∘g)(x) = f(g(x)) في مخطط سهمي متسلسل، وفي تمثيل بياني مع إنشاء يمر بالمستقيم y = x. ومجالها هو مجموعة قيم x في مجال g التي تكون عندها g(x) في مجال f؛ ويُحسب المجال والمدى بدقة، مع تقريب الأطراف إلى منزلتين عشريتين. أما الدالة العكسية فهي انعكاس التمثيل البياني في y = x، ولا توجد إلا للدوال المتباينة.

طريقة الاستخدام

ابدأ بتبويب «التركيب»: اضبط f وg بالمنزلقين a وb، ثم اسحب x₀ على التمثيل البياني وتتبّع الأسهم في المخطط السهمي. غيّر «الترتيب» لتقارن f∘g بالدالة g∘f. في «جمع وضرب» اختر «العملية» ولاحظ أعمدة الإحداثيات الصادية. في «العكسية» اختر دالة تربيعية، وفعّل «اختبار الخط الأفقي»، ثم اجعل «مجال f» هو x ≥ 0، واسحب «النقطة A» لتقارن الميلين. ويعيد زر «إعادة الضبط» القيم الابتدائية.

المعاملات القابلة للتغيير

• الشاشة الدالة المركبة, جمع الدوال وضربها, الدالة العكسية
• نوع f خطية a·x + b, تربيعية a·x² + b, أسية a·eˣ + b, جذر تربيعي a·√x + b, مقلوب a/x + b
• المعامل a للدالة f -5–5
• المعامل b للدالة f -5–5
• نوع g خطية a·x + b, تربيعية a·x² + b, أسية a·eˣ + b, جذر تربيعي a·√x + b, مقلوب a/x + b
• المعامل a للدالة g -5–5
• المعامل b للدالة g -5–5
• القيمة x₀ (النقطة A في شاشة العكسية) -5–5
• ترتيب التركيب f∘g: f(g(x)), g∘f: g(f(x))
• العملية (شاشة جمع وضرب) f + g, f − g, f · g, f ÷ g
• تقييد مجال f (شاشة العكسية) المجال كاملًا, x ≥ 0, x ≤ 0
• اختبار الخط الأفقي
• المستقيم الأفقي y = k -6–6

أسئلة للاستكشاف

1. إذا كانت f(x) = √x وg(x) = x − 2، فكيف يختلف مجال f∘g عن مجال g∘f؟
2. لماذا ليس للدالة y = x² دالة عكسية على الأعداد الحقيقية كلها، وكيف يساعد تقييد المجال؟
3. إذا كان ميل المماس للدالة f عند A يساوي 2، فما ميل المماس للدالة f⁻¹ عند النقطة المناظرة؟