Fonctions rationnelles – asymptotes de la courbe

Ce qu’elle montre

Une asymptote est une droite dont la courbe se rapproche de plus en plus. Pour y = (ax + b)/(cx + d), une racine du dénominateur donne l'asymptote verticale x = −d/c, sauf si le numérateur s'y annule aussi ; quand x → ±∞, le quotient tend vers a/c. Pour y = (ax² + bx + c)/(x + d), la division euclidienne donne une asymptote oblique. Un facteur commun (x − k) au numérateur et au dénominateur se simplifie, mais x = k reste une valeur interdite : la courbe a un trou au lieu d'une asymptote. L'atelier factorise, simplifie, additionne, soustrait, multiplie et divise des fractions rationnelles sur leur ensemble de définition commun.

Mode d’emploi

Dans l'onglet Courbe et asymptotes, modifiez les coefficients et prévoyez les asymptotes avant de lire le panneau. Cochez Ajouter un facteur commun (x − k) et déplacez k : le tableau montre que y tend vers la même valeur des deux côtés du trou. Essayez ensuite la tâche. Dans l'onglet Atelier des fractions, choisissez numérateurs, dénominateurs et opération, puis dévoilez la résolution avec Étape suivante.

Paramètres modifiables

• Type de fonction (ax + b)/(cx + d), (ax² + bx + c)/(x + d)
• Coefficient a -5–5
• Coefficient b -8–8
• Coefficient c (dénominateur du 1er degré) / terme constant c -5–5
• Coefficient d -6–6
• Écran Courbe et asymptotes, Atelier des fractions
• Facteur commun (x − k) au numérateur et au dénominateur
• Racine k du facteur commun -6–6
• Premier numérateur 1, x, x − 1, x + 1, x − 2, x + 2, x − 3, x + 3, 2x + 4, 3x − 6, x², x² − x, x² + 2x, x² − 1, x² − 4, x² − 9, x² + x − 2, x² − x − 2, x² − 3x + 2, x² − 5x + 6, x² + 4x + 4, x² − 2x + 1, x² + 1, 2x² − 8
• Premier dénominateur 1, x, x − 1, x + 1, x − 2, x + 2, x − 3, x + 3, 2x + 4, 3x − 6, x², x² − x, x² + 2x, x² − 1, x² − 4, x² − 9, x² + x − 2, x² − x − 2, x² − 3x + 2, x² − 5x + 6, x² + 4x + 4, x² − 2x + 1, x² + 1, 2x² − 8
• Opération Simplifier une fraction, Additionner, Soustraire, Multiplier, Diviser
• Second numérateur 1, x, x − 1, x + 1, x − 2, x + 2, x − 3, x + 3, 2x + 4, 3x − 6, x², x² − x, x² + 2x, x² − 1, x² − 4, x² − 9, x² + x − 2, x² − x − 2, x² − 3x + 2, x² − 5x + 6, x² + 4x + 4, x² − 2x + 1, x² + 1, 2x² − 8
• Second dénominateur 1, x, x − 1, x + 1, x − 2, x + 2, x − 3, x + 3, 2x + 4, 3x − 6, x², x² − x, x² + 2x, x² − 1, x² − 4, x² − 9, x² + x − 2, x² − x − 2, x² − 3x + 2, x² − 5x + 6, x² + 4x + 4, x² − 2x + 1, x² + 1, 2x² − 8
• Masquer les étapes pour que les élèves cherchent d'abord

Questions à explorer

1. Une racine du dénominateur donne-t-elle toujours une asymptote verticale, ou peut-elle donner un trou ?
2. Quelle est l'asymptote oblique de y = (x² + 1)/(x − 2) ?
3. La courbe de y = (ax + b)/(cx + d) peut-elle couper son asymptote horizontale y = a/c ? Pourquoi ?