التحسين بالمشتقات – مسائل القيم العظمى والصغرى من الواقع

ماذا تعرض

تعرض ثلاث مسائل من الواقع مراحل التحسين بالمشتقات كاملة: بناء دالة الهدف، ثم تقييدها بمجال معقول، ثم تحديد قيمتها العظمى أو الصغرى. تستهلك العلبة الأسطوانية ذات الحجم الثابت أقل قدر من المادة عندما يساوي ارتفاعها قطرها. والصندوق المفتوح من الأعلى المطوي من صفيحة مربعة طول ضلعها a يبلغ أكبر حجم له عند قص مربعات طول ضلعها a/6 من الأركان. أما دالة الربح L(g) = (g − c)(2000 − 10g) فتبلغ قيمتها العظمى عند g = 100 + c/2. وفي كل حالة تقع القيمة المثلى حيث تغيّر f'(x) إشارتها.

طريقة الاستخدام

اختر «المسألة» وحرّك منزلق المتغير («نصف قطر القاعدة r» أو «ضلع المربع المقصوص x» أو «سعر البيع g»): يتغير الشكل والتمثيلان البيانيان للدالتين f(x) و f'(x) وجدول التغيرات معًا. حدّد القيمة المثلى من إشارة المشتقة قبل قراءتها. ثم غيّر معامل المسألة («حجم العلبة» أو «ضلع الكرتون a» أو «تكلفة الوحدة c») ولاحظ كيف تتحرك القيمة المثلى؛ وفي حالة العلبة ناقش لماذا تختلف العلب الحقيقية.

المعاملات القابلة للتغيير

• المسألة علبة تستهلك أقل قدر من المادة, صندوق مفتوح من الأعلى بأكبر حجم, سعر بيع يحقق أكبر ربح
• قيمة المتغير (جزء من المجال) 0.02–0.98
• معامل المسألة (حجم العلبة mL / ضلع الكرتون cm / تكلفة الوحدة بآلاف USD) 10–500

أسئلة للاستكشاف

1. في العلبة التي تستهلك أقل قدر من المادة، كيف يقارن ارتفاعها بقطر قاعدتها؟
2. لماذا يجب تحديد مجال المتغير قبل إنشاء جدول التغيرات؟
3. إذا كانت f'(x) = 0 عند نقطة، فهل تكون هذه النقطة دائمًا القيمة المثلى؟ وماذا يجب أن يحدث لإشارة f'(x) عندها؟