Optimización en problemas reales con derivadas

Qué muestra

Tres problemas reales muestran el proceso completo de optimización con derivadas: plantear una función objetivo, limitarla a un dominio con sentido y localizar su máximo o su mínimo. Una lata cilíndrica de volumen fijo usa el mínimo de material cuando su altura es igual a su diámetro. Una caja sin tapa hecha con una lámina cuadrada de lado a alcanza el volumen máximo al recortar cuadrados de lado a/6 en las esquinas. La función de beneficio L(g) = (g − c)(2000 − 10g) alcanza su máximo en g = 100 + c/2. En cada caso el óptimo está donde f'(x) cambia de signo.

Cómo usarla

Elige un Problema y mueve el deslizador de la variable (Radio de la base r, Lado del corte x o Precio de venta g): el dibujo, las gráficas de f(x) y f'(x) y la tabla de variación cambian juntos. Los estudiantes localizan el óptimo por el signo de la derivada antes de leerlo. Luego cambia el parámetro del problema (Volumen de la lata, Lado del cartón a o Costo unitario c) y mira cómo se mueve el óptimo; con la lata, comenta por qué las latas reales son distintas.

Parámetros que puedes cambiar

• Problema Lata con el mínimo de material, Caja sin tapa de volumen máximo, Precio de venta con máximo beneficio
• Valor de la variable (fracción del dominio) 0,02–0,98
• Parámetro del problema (volumen de la lata mL / lado del cartón cm / costo unitario c) 10–500
• Moneda (problema del precio de venta) Según el idioma, Dólar estadounidense, Euro, Rupia india, Rupia indonesia, Riyal saudí

Preguntas para explorar

1. En la lata que usa el mínimo de material, ¿cómo es su altura comparada con el diámetro de la base?
2. ¿Por qué hay que hallar el dominio de la variable antes de construir la tabla de variación?
3. Si f'(x) = 0 en un punto, ¿ese punto es siempre el óptimo? ¿Qué debe ocurrir allí con el signo de f'(x)?