Optimisation de situations concrètes à l'aide de la dérivée

Ce qu’elle montre

Trois problèmes concrets montrent toute la démarche d'optimisation à l'aide de la dérivée : construire une fonction objectif, la restreindre à un intervalle qui a du sens, puis localiser son maximum ou son minimum. Une canette cylindrique de volume fixé utilise le moins de matière quand sa hauteur est égale à son diamètre. Une boîte sans couvercle pliée dans un carré de côté a a un volume maximal quand on découpe aux coins des carrés de côté a/6. Le bénéfice L(g) = (g − c)(2000 − 10g) est maximal pour g = 100 + c/2. Dans chaque cas, l'optimum se trouve là où f'(x) change de signe.

Mode d’emploi

Choisissez un Problème et déplacez le curseur de la variable (Rayon de base r, Côté du coin coupé x ou Prix de vente g) : le dessin, les courbes de f(x) et de f'(x) et le tableau de variations évoluent ensemble. Les élèves repèrent l'optimum grâce au signe de la dérivée avant de le lire. Modifiez ensuite le paramètre du problème (Volume canette, Côté du carton a ou Coût unitaire c) et observez le déplacement de l'optimum ; pour la canette, discutez de l'écart avec les canettes réelles.

Paramètres modifiables

• Problème Canette utilisant le moins de matière, Boîte sans couvercle de volume maximal, Prix de vente pour un bénéfice maximal
• Valeur de la variable (fraction de l'intervalle) 0,02–0,98
• Paramètre du problème (volume de la canette en mL / côté du carton en cm / coût unitaire c) 10–500
• Monnaie (problème du prix de vente) Selon la langue, Dollar américain, Euro, Roupie indienne, Roupie indonésienne, Riyal saoudien

Questions à explorer

1. Pour la canette qui utilise le moins de matière, comment sa hauteur se compare-t-elle au diamètre de sa base ?
2. Pourquoi faut-il déterminer l'intervalle d'étude avant de dresser le tableau de variations ?
3. Si f'(x) = 0 en un point, ce point est-il toujours l'optimum ? Que doit-il se passer pour le signe de f'(x) ?