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Größen, die sich gemeinsam ändern – Graphen beim Füllen von Gefäßen und bei einer Radtour

MathematikFunktionen und GraphenAlter 15–16

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Füllen Sie mit konstanter Zuflussrate einen Zylinder, einen Kegel, einen Rundkolben, eine Schale oder ein selbst entworfenes Gefäß, oder verfolgen Sie eine Radtour; ziehen Sie Punkte, um den Höhe-Zeit- bzw. Entfernung-Zeit-Graphen zu skizzieren, und vergleichen Sie ihn mit dem wahren Graphen. Eine synchrone Animation bewegt Gefäß (oder Fahrrad) zusammen mit dem Graphen und färbt die Abschnitte, in denen er steigt, fällt, links- oder rechtsgekrümmt ist; Monotonietabelle sowie größter und kleinster Wert werden direkt am Graphen abgelesen, ohne Ableitungen.

Lektion: Funktionen und Graphen: qualitative Graphen, Monotonie, Krümmung und Extremwerte ohne Ableitung

Was sie zeigt

Fließt Wasser mit konstanter Rate in ein Gefäß, wächst das Volumen gleichmäßig, doch wie schnell der Wasserspiegel steigt, hängt von der Breite des Gefäßes an der Wasseroberfläche ab: Breite Abschnitte füllen sich langsam, schmale schnell. Der Höhe-Zeit-Graph steigt daher immer, ist aber rechtsgekrümmt, wo sich das Gefäß nach oben weitet, linksgekrümmt, wo es sich verengt, und gerade, wo die Wände senkrecht sind. Die Radtour ergänzt Abschnitte, in denen die Entfernung von zu Hause zunimmt, gleich bleibt und abnimmt. Erst wird vorhergesagt, dann verglichen.

So funktioniert es

Wählen Sie ein Gefäß, ziehen Sie die orangefarbenen Punkte, um Ihre Vorhersage zu skizzieren, und klicken Sie auf Abspielen oder ziehen Sie Zeitpunkt, um Gefäß und Graph gemeinsam laufen zu lassen. Mit Wahren Graphen zeigen vergleichen Sie und lesen die Bewertung ab. Mit Hervorheben färben Sie Monotonie oder Krümmung. In der Ansicht Radtour skizzieren Sie die Entfernung von zu Hause und lesen Monotonietabelle und Extremwerte ab.

Einstellbare Parameter

  • Ansicht Gefäß füllen, Radtour
  • Gefäßform Zylinder, Kegel (oben weit), Rundkolben, Schale, Eigener Entwurf
  • Zuflussrate 20–200 mL/s
  • Tour Zum Park und zurück, Über einen Hügel zu einem Freund
  • Wahren Graphen färben nach Automatisch je Ansicht, Steigend / fallend, Links- / rechtsgekrümmt, Keine Färbung
  • Wahren Graphen von Anfang an zeigen
  • Animationsgeschwindigkeit 0,5–4

Fragen zum Erkunden

  1. Warum ist der Höhe-Zeit-Graph eines nach oben weiter werdenden Kegels rechtsgekrümmt?
  2. Welche Gefäßform ergibt einen zuerst geraden, dann linksgekrümmten Graphen?
  3. Wann ist die Entfernung von zu Hause am größten, und wie zeigt die Monotonietabelle das?

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