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Théorème de Pythagore – carrés sur les côtés, démonstrations et applications

MathématiquesGéométrie plane13–14 ans

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Déplacez les sommets d'un triangle sur un quadrillage et comparez les aires des carrés construits sur ses trois côtés : a² + b² = c² seulement quand l'angle C est droit ; a² + b² > c² quand C est aigu et a² + b² < c² quand C est obtus (la réciproque). Regardez deux démonstrations animées : par découpage et recomposition (quatre triangles rectangles dans un carré de côté a + b) et par triangles semblables (la hauteur issue de l'angle droit). Les écrans d'application calculent un côté manquant avec des exercices, la distance entre deux points d'un repère et la diagonale d'un pavé droit, d = √(l² + w² + h²), dans une vue 3D orientable.

Leçon : Théorème de Pythagore et sa réciproque

Ce qu’elle montre

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : c² = a² + b². La réciproque est vraie aussi : si a² + b² = c², l'angle opposé à c mesure 90°. Si a² + b² est plus grand que c², cet angle est aigu ; s'il est plus petit, il est obtus. On démontre le théorème en réarrangeant quatre copies du triangle dans un carré, ou avec les triangles semblables formés par la hauteur issue de l'angle droit. Il donne la distance entre deux points et la diagonale d'un pavé droit, d = √(l² + w² + h²).

Mode d’emploi

Dans Explorer, déplacez A, B et C ou cliquez sur un modèle comme 3–4–5, Angle C aigu ou Angle C obtus ; laissez Grille aimantée cochée pour des aires entières exactes. Dans Démonstrations, choisissez la Démonstration puis cliquez sur Lecture ou déplacez Progression. Dans Calculer un côté, choisissez quoi Calculer, réglez les curseurs et cliquez sur Nouvelle question pour vous entraîner. Dans Distance, déplacez P et Q. Dans Pavé droit, réglez l, w et h et faites glisser la figure pour la tourner.

Paramètres modifiables

  • Écran Explorer, Démonstrations, Calculer un côté, Distance, Pavé droit
  • Aimanter les sommets au quadrillage (Explorer)
  • Démonstration Découpage, Triangles semblables
  • Côté a (Démonstrations, Calculer un côté) 1–15 cm
  • Côté b (Démonstrations, Calculer un côté) 1–15 cm
  • Côté à calculer (Calculer un côté) Hypoténuse, Côté de l'angle droit
  • Longueur l (Pavé droit) 1–12 cm
  • Largeur w (Pavé droit) 1–12 cm
  • Hauteur h (Pavé droit) 1–12 cm

Questions à explorer

  1. Pourquoi les deux petits carrés recouvrent-ils exactement le grand carré seulement quand l'angle C mesure 90° ?
  2. Comment utiliser a² + b² et c² pour savoir si un triangle a un angle aigu, droit ou obtus ?
  3. Pourquoi faut-il utiliser deux fois le théorème de Pythagore pour calculer la diagonale d'un pavé droit ?

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