Teorema de Pitágoras – quadrados sobre os lados, demonstrações e aplicações
MatemáticaGeometria planaIdades 13–14
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Entre para usarArraste os vértices de um triângulo numa malha quadriculada e compare as áreas dos quadrados construídos sobre os três lados: a² + b² = c² só quando o ângulo C é reto; a² + b² > c² quando C é agudo e a² + b² < c² quando C é obtuso (a recíproca). Veja duas demonstrações animadas: por rearranjo (quatro triângulos retângulos dentro de um quadrado de lado a + b) e por triângulos semelhantes (a altura relativa à hipotenusa). As telas de aplicação calculam um lado desconhecido com exercícios de prática, a distância entre dois pontos no plano cartesiano e a diagonal de um paralelepípedo retângulo, d = √(l² + w² + h²), numa vista 3D que pode ser girada.
Aula: Teorema de Pitágoras e sua recíproca
O que mostra
Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos: c² = a² + b². A recíproca também vale: se a² + b² = c², o ângulo oposto a c mede 90°. Se a² + b² for maior que c², esse ângulo é agudo, e se for menor, é obtuso. O teorema pode ser demonstrado rearranjando quatro cópias do triângulo dentro de um quadrado, ou com os triângulos semelhantes formados pela altura relativa à hipotenusa. Ele dá a distância entre dois pontos, d = √(Δx² + Δy²), e a diagonal de um paralelepípedo, d = √(l² + w² + h²).
Como usar
Em Explorar, arraste A, B e C ou clique em um modelo como 3–4–5, Ângulo C agudo ou Ângulo C obtuso; deixe Ajustar à malha ligado para ter áreas inteiras exatas. Em Demonstrações, escolha a Demonstração e clique em Reproduzir ou arraste Progresso. Em Calcular um lado, escolha o que Calcular, mova os controles deslizantes e clique em Nova pergunta para praticar. Em Distância, arraste P e Q. Em Paralelepípedo, ajuste l, w e h e arraste a figura para girá-la.
Parâmetros que você pode mudar
- Tela Explorar, Demonstrações, Calcular um lado, Distância, Paralelepípedo
- Ajustar os vértices à malha (Explorar)
- Demonstração Rearranjo, Triângulos semelhantes
- Cateto a (Demonstrações, Calcular um lado) 1–15 cm
- Cateto b (Demonstrações, Calcular um lado) 1–15 cm
- Lado a calcular (Calcular um lado) Hipotenusa, Cateto
- Comprimento l (Paralelepípedo) 1–12 cm
- Largura w (Paralelepípedo) 1–12 cm
- Altura h (Paralelepípedo) 1–12 cm
Perguntas para explorar
- Por que os dois quadrados menores preenchem exatamente o quadrado maior somente quando o ângulo C mede 90°?
- Como você pode usar a² + b² e c² para saber se um triângulo é acutângulo, retângulo ou obtusângulo?
- Por que é preciso usar o teorema de Pitágoras duas vezes para achar a diagonal de um paralelepípedo?
