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Teorema de Pitágoras – cuadrados sobre los lados, demostraciones y aplicaciones

MatemáticasGeometría planaEdades 13–14

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Arrastra los vértices de un triángulo sobre una cuadrícula y compara las áreas de los cuadrados construidos sobre sus tres lados: a² + b² = c² solo cuando el ángulo C es recto; a² + b² > c² cuando C es agudo y a² + b² < c² cuando C es obtuso (el recíproco). Observa dos demostraciones animadas: por reordenamiento (cuatro triángulos rectángulos dentro de un cuadrado de lado a + b) y por triángulos semejantes (la altura sobre la hipotenusa). Las pantallas de aplicación calculan un lado desconocido con ejercicios de práctica, la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano y la diagonal de un ortoedro, d = √(l² + w² + h²), en una vista 3D que se puede girar.

Lección: Teorema de Pitágoras y su recíproco

Qué muestra

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: c² = a² + b². El recíproco también es cierto: si a² + b² = c², el ángulo opuesto a c mide 90°. Si a² + b² es mayor que c², ese ángulo es agudo; si es menor, es obtuso. El teorema se demuestra reordenando cuatro copias del triángulo dentro de un cuadrado, o con los triángulos semejantes que forma la altura sobre la hipotenusa. Permite calcular la distancia entre dos puntos y la diagonal de un ortoedro, d = √(l² + w² + h²).

Cómo usarla

En Explorar, arrastra A, B y C o pulsa un modelo como 3–4–5, Ángulo C agudo o Ángulo C obtuso; deja activado Usar cuadrícula para obtener áreas enteras exactas. En Demostraciones, elige la Demostración y pulsa Reproducir o arrastra Progreso. En Calcular un lado, elige qué Calcular, mueve los deslizadores y pulsa Nueva pregunta para practicar. En Distancia, arrastra P y Q. En Ortoedro, ajusta l, w y h y arrastra la figura para girarla.

Parámetros que puedes cambiar

  • Pantalla Explorar, Demostraciones, Calcular un lado, Distancia, Ortoedro
  • Ajustar los vértices a la cuadrícula (Explorar)
  • Demostración Reordenamiento, Triángulos semejantes
  • Cateto a (Demostraciones, Calcular un lado) 1–15 cm
  • Cateto b (Demostraciones, Calcular un lado) 1–15 cm
  • Lado que se calcula (Calcular un lado) Hipotenusa, Cateto
  • Largo l (Ortoedro) 1–12 cm
  • Ancho w (Ortoedro) 1–12 cm
  • Alto h (Ortoedro) 1–12 cm

Preguntas para explorar

  1. ¿Por qué los dos cuadrados pequeños llenan exactamente el cuadrado grande solo cuando el ángulo C mide 90°?
  2. ¿Cómo puedes usar a² + b² y c² para saber si un triángulo es acutángulo, rectángulo u obtusángulo?
  3. ¿Por qué necesitas aplicar dos veces el teorema de Pitágoras para hallar la diagonal de un ortoedro?

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