Límites de sucesiones y de funciones, continuidad

Qué muestra

Una sucesión uₙ tiene límite L si, para cualquier banda L ± ε por estrecha que sea, todos los términos desde un índice N₀ quedan dentro; (−1)ⁿ no cabe en ninguna banda estrecha. Una función tiene límite en x₀ cuando coinciden sus límites laterales, y es continua allí si ese límite vale f(x₀). El modo Técnicas convierte las formas 0/0 e ∞/∞ en valores exactos: factorizar o multiplicar por el conjugado quita un hueco, el teorema del sándwich encierra x² sin(1/x) y sin x / x entre funciones más simples, la regla de L'Hôpital compara f/g con f′/g′ y dividir por la mayor potencia da límites en el infinito.

Cómo usarla

En Sucesión, elige una sucesión y arrastra en vertical sobre la gráfica para estrechar ε; predice cómo cambia N₀. En Función, fija x₀, arrastra el punto rojo hacia él por cada lado o pulsa Iniciar, y compara los límites laterales con f(x₀). En Técnicas, elige un caso y pulsa Siguiente paso para ver el desarrollo paso a paso mientras arrastras el punto rojo y miras la tabla.

Parámetros que puedes cambiar

• Objeto Sucesión uₙ, Función f(x), Técnicas para calcular límites
• Sucesión uₙ = 1/n, uₙ = (−1)ⁿ/n, uₙ = (2n + 1)/(n + 1), uₙ = (−1)ⁿ (sin límite)
• ε (semiancho de la banda alrededor de L) 0,02–0,5
• Función f(x) = (x² − 1)/(x − 1), f(x) = sin x / x, f(x) = |x|/x, f(x) = x² (continua)
• Punto x₀ donde se estudia el límite -3–3
• Técnica (modo Técnicas) Factorizar: (x² − x − 6)/(x − 3), x → 3, Conjugado: (√(x + 4) − 2)/x, x → 0, Sándwich: x² sin(1/x), x → 0, Sándwich: sin x / x, x → 0, L'Hôpital 0/0: ln x / (x − 1), x → 1, L'Hôpital ∞/∞: ln x / x, x → ∞, En el infinito: (2x² − 3x + 1)/(x² + 4)

Preguntas para explorar

1. Para ε = 0,1, ¿a partir de qué índice N₀ todos los términos de uₙ = 1/n están dentro de la banda?
2. ¿Por qué multiplicar por √(x + 4) + 2 elimina la forma 0/0 de (√(x + 4) − 2)/x cuando x → 0?
3. ¿Cuáles de las cuatro funciones son continuas en x₀ = 0 y qué falla en las demás?