Cónicas según la excentricidad
MatemáticasVectores y geometría analíticaEdades 15–16
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Con el mismo foco y la misma directriz, solo cambia la excentricidad e: e < 1 da una elipse, e = 1 una parábola y e > 1 una hipérbola. La simulación dibuja la cónica, marca el foco y el eje, y permite comprobar la propiedad MF = e·d(M, Δ) en un punto M que puedes arrastrar sobre la curva.
Lección: Secciones cónicas
Qué muestra
Elipses, parábolas e hipérbolas forman una misma familia. Cada una es el conjunto de puntos M cuya distancia a un foco fijo F es e veces la distancia a una recta fija, la directriz Δ: MF = e·d(M, Δ). En forma polar respecto al foco, r = p/(1 + e·cos θ), donde p es el semilado recto. Si e < 1, la curva se cierra en una elipse cada vez más redonda cuando e se acerca a 0; con e = 1 se abre en una parábola; si e > 1, se divide en las dos ramas de una hipérbola. Cambiar p solo reescala la curva sin cambiar su forma.
Cómo usarla
Empieza con los tres botones predefinidos, e = 0,6 (elipse), e = 1 (parábola) y e = 1,6 (hipérbola), y luego arrastra Excentricidad e despacio a través de 1 para ver cómo la elipse se alarga, se abre y se divide en dos ramas. Mantén activada la comprobación y arrastra el punto M por la curva: las lecturas MF y e·d siguen siendo iguales. Por último, varía Semilado recto p para mostrar que cambia el tamaño, pero no la forma.
Parámetros que puedes cambiar
- Excentricidad e 0,1–2,5
- Semilado recto p 1–8
- Mostrar comprobación: MF = e·d(M, Δ)
Preguntas para explorar
- ¿Qué curva define la igualdad MF = d(M, Δ) cuando e = 1, y por qué no se cierra?
- ¿A qué figura se parece la elipse cuando e se acerca a 0?
- ¿Por qué cambiar p modifica el tamaño de la cónica, pero no su forma?
