Función exponencial y = aˣ y función logarítmica y = logₐx
MatemáticasFunciones y gráficasEdades 16–17
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Sigue con Funciones y gráficas
Las gráficas de y = aˣ e y = logₐx son simétricas respecto de la recta y = x. Arrastra el punto M sobre la gráfica exponencial y su simétrico M' se mueve sobre la logarítmica; mueve el control a para ver la función creciente si a > 1 y decreciente si 0 < a < 1. La pantalla Propiedades muestra un logaritmo como exponente en una escala de potencias de b, las leyes del producto y del cociente en una regla de cálculo, la ley de la potencia, el cambio de base y b^(x+k) = b^k·b^x como transformaciones de gráficas; la pantalla Ecuaciones resuelve A·b^(ct) = d gráficamente y con logaritmos, incluidos el tiempo de duplicación y la vida media. La pantalla Base e muestra por qué e es especial: solo con a = e la pendiente de aˣ es igual a su valor; la derivada de e^(kx) es k·e^(kx); ln x es el área bajo y = 1/t y la simétrica de eˣ respecto de y = x; y (1 + 1/n)ⁿ → e se relaciona con la capitalización continua.
Lección: Función exponencial, función logarítmica
Qué muestra
La función exponencial y = aˣ y el logaritmo y = logₐx son inversos, así que sus gráficas son simétricas respecto de y = x. Un logaritmo es un exponente; las leyes log(xy) = log x + log y, log(x/y) = log x − log y y log(xᵏ) = k·log x salen de las leyes de los exponentes, y tomar logaritmos resuelve A·b^(ct) = d. El número e ≈ 2,718 es la única base con la que la pendiente de aˣ iguala su valor: la derivada de e^(kx) es k·e^(kx). ln x es el área bajo y = 1/t de 1 a x, y (1 + 1/n)ⁿ tiende a e.
Cómo usarla
En Gráficas, mueve el control Base a por encima y por debajo de 1 y arrastra el punto M sobre y = aˣ. En Propiedades, elige una Ley y una Base y arrastra sobre la figura. En Ecuaciones, ajusta A, b, c y d o elige un Problema y marca Eje y logarítmico. En Base e, elige una Vista, cambia a o pulsa a = e, cambia k o ajusta n y r, y arrastra sobre la gráfica.
Parámetros que puedes cambiar
- Base a (a > 0, a ≠ 1) 0,1–5
- Abscisa inicial del punto M -3–3
- Aplicación mostrada Solo la gráfica, Crecimiento de una población (×a por periodo), Desintegración radiactiva (queda la fracción a por periodo, a < 1)
- Mostrar la gráfica y = logₐx
- Mostrar la recta y = x y el par de puntos simétricos
- Pantalla Gráficas, Propiedades, Ecuaciones, Base e
- Ley de los logaritmos Un logaritmo es un exponente, Producto: log(xy), Cociente: log(x/y), Potencia: log(xᵏ), log(kx): traslación, Cambio de base, bˣ⁺ᵏ = bᵏ·bˣ
- Base b (leyes) 2, 3, 10, e
- Valor x (leyes) 0,1–100
- Valor y (regla de cálculo) 0,1–10
- Parámetro k -3–10
- Nueva base c 2, 3, 10, e
- Valor inicial A 1–1000
- Base b (ecuación) 0,5–3
- Constante c 0,1–12
- Valor objetivo d 1–5000
- Problema Elegir d, Tiempo de duplicación (d = 2A), Vida media (d = A/2)
- Eje y logarítmico
- Base e: vista Pendiente de aˣ, Pendiente de e^(kx), ln x como área, (1 + 1/n)ⁿ → e
- Base a (pantalla Base e) 1,2–4
- Constante k en y = e^(kx) -2–2
- Coordenada x del punto de tangencia -3–2
- Límite superior x del área bajo y = 1/t 0,1–8
- Número de periodos de capitalización n 1–1000000
- Tasa de interés anual r 1–100 %
Preguntas para explorar
- Usando la simetría de y = aˣ respecto a y = x, ¿por qué logₐx solo está definido para x > 0?
- Si M(2; 4) está en y = 2ˣ, ¿qué punto debe estar en y = log₂x?
- Una población se multiplica por 1,1 en cada periodo. ¿Tras cuántos periodos se ha duplicado?
