Résolution de triangles – mesurer la largeur d'une rivière avec la loi des sinus et Al-Kashi

Ce qu’elle montre

Résoudre un triangle, c'est trouver ses côtés et angles inconnus à partir de trois éléments connus, grâce au théorème d'Al-Kashi, à la loi des sinus et à la somme des angles égale à 180°. Les géomètres s'en servent pour mesurer des distances qu'ils ne peuvent pas parcourir : depuis deux piquets A et B sur une rive, ils mesurent la base AB et les angles vers un arbre C de l'autre côté, puis calculent AC et la largeur d = AC·sinA. Le modèle suppose un terrain plat, des rives droites et parallèles et un instrument qui surestime les deux angles de la même valeur.

Mode d’emploi

Choisissez un Problème. Dans Mesurer la largeur d'une rivière, déplacez les piquets A, B et l'arbre C, et modifiez Largeur réelle et Erreur de mesure d'angle pour voir comment l'erreur sur d dépend de la base. Dans les autres problèmes, déplacez les sommets : données en orange, résultats en bleu. Dans Deux côtés et un angle non compris, déplacez C et P pour obtenir 0, 1 ou 2 triangles.

Paramètres modifiables

• Problème Mesurer la largeur d'une rivière, Trois côtés connus, Deux côtés et l'angle compris, Un côté et deux angles adjacents, Deux côtés et un angle non compris
• Largeur réelle de la rivière 20–150 m
• Distance initiale AB 20–200 m
• Erreur de mesure d'angle 0–3 °

Questions à explorer

1. Avec une erreur de 1° sur les angles, une base AB courte ou longue donne-t-elle une largeur plus précise ?
2. Connaissant a, b et un angle aigu A, quand deux triangles différents conviennent-ils ?
3. Quand on connaît les trois côtés, pourquoi vaut-il mieux calculer le plus grand angle avec Al-Kashi ?