Coniques et excentricité
MathématiquesVecteurs et géométrie repérée15–16 ans
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À suivre dans Vecteurs et géométrie repérée
Avec le même foyer et la même directrice, seule l'excentricité e varie : e < 1 donne une ellipse, e = 1 une parabole, e > 1 une hyperbole. La simulation trace la conique, marque le foyer et l'axe, et permet de vérifier la propriété MF = e·d(M, Δ) en un point M que vous déplacez sur la courbe.
Leçon : Coniques
Ce qu’elle montre
Ellipses, paraboles et hyperboles forment une même famille. Chacune est l'ensemble des points M dont la distance à un foyer fixe F vaut e fois la distance à une droite fixe, la directrice Δ : MF = e·d(M, Δ). En coordonnées polaires centrées au foyer, r = p/(1 + e·cos θ), où p est le paramètre de la conique. Pour e < 1, la courbe se referme en une ellipse, de plus en plus ronde quand e tend vers 0 ; pour e = 1, elle s'ouvre en parabole ; pour e > 1, elle se sépare en deux branches d'hyperbole. Modifier p change seulement l'échelle, pas la forme.
Mode d’emploi
Commencez par les trois boutons prédéfinis, e = 0,6 (ellipse), e = 1 (parabole) et e = 1,6 (hyperbole), puis faites glisser lentement Excentricité e au-delà de 1 : l'ellipse s'allonge, s'ouvre, puis se sépare en deux branches. Gardez la vérification activée et déplacez le point M sur la courbe : les valeurs MF et e·d restent égales. Enfin, faites varier Paramètre p pour montrer qu'il change la taille, mais pas la forme.
Paramètres modifiables
- Excentricité e 0,1–2,5
- Paramètre p 1–8
- Afficher la vérification : MF = e·d(M, Δ)
Questions à explorer
- Pour e = 1, quelle courbe l'égalité MF = d(M, Δ) définit-elle, et pourquoi ne se referme-t-elle pas ?
- De quelle figure l'ellipse se rapproche-t-elle quand e tend vers 0 ?
- Pourquoi modifier p change-t-il la taille de la conique mais pas sa forme ?
