La fracción (ax + b)/(cx + d): dominio y gráfica

Qué muestra

Una expresión racional como (ax + b)/(cx + d) solo tiene valor donde el denominador no es cero, así que su dominio excluye x = −d/c. Al representarla gráficamente, esta regla se convierte en un corte visible de la curva. Cerca del valor excluido el denominador es muy pequeño y el valor crece sin límite, lo que da una asíntota vertical; para |x| grande el valor se acerca a a/c, la asíntota horizontal. Si ad − bc = 0, el numerador es múltiplo del denominador: la expresión se simplifica a una constante y la gráfica es una recta horizontal a la que le falta un punto.

Cómo usarla

Empieza con los coeficientes por defecto y arrastra el punto P sobre la gráfica para leer el valor de la expresión en varios valores de x, algunos muy cerca del corte. Cambia el Coeficiente c y el Coeficiente d y pide a los estudiantes que predigan hacia dónde se moverá el corte antes de mirar; luego activa Mostrar asíntotas para comprobarlo. Después elige a, b, c, d con ad − bc = 0, por ejemplo 2, 4, 1, 2, y busca el punto hueco.

Parámetros que puedes cambiar

• Coeficiente a (numerador) -6–6
• Coeficiente b (numerador) -6–6
• Coeficiente c (denominador) -6–6
• Coeficiente d (denominador) -6–6
• Mostrar asíntotas
• Rango de los ejes (−R … R) 4–20

Preguntas para explorar

1. ¿Qué valor de x hay que excluir del dominio de (x + 2)/(x − 1) y qué hace la gráfica allí?
2. ¿Por qué la gráfica nunca puede cortar la recta vertical x = −d/c?
3. ¿Qué tipo de expresión y qué tipo de gráfica obtienes cuando el Coeficiente c vale 0?