Sistemas de três equações lineares – planos e escalonamento
MatemáticaÁlgebraIdades 15–16
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Cada equação ax + by + cz = d é um plano no espaço. Gire o referencial 3D para ver três planos se encontrarem em um ponto (solução única), se cortarem dois a dois em três retas paralelas (sem solução) ou terem uma reta em comum (infinitas soluções), enquanto avança pelo escalonamento (eliminação de Gauss) da matriz completa para ver por que o sistema cai nesse caso. O botão 2D | 3D muda para uma visualização tridimensional real (WebGL): os três planos coloridos nos eixos Oxyz, as retas de interseção e o ponto solução, que você pode girar e ampliar livremente.
Aula: Sistemas de três equações lineares
O que mostra
Uma equação linear ax + by + cz = d com três incógnitas descreve um plano no espaço, então resolver um sistema de três dessas equações significa encontrar os pontos comuns a três planos. Os planos podem se encontrar em um único ponto (solução única), compartilhar uma reta (infinitas soluções com uma variável livre) ou não ter ponto em comum, por exemplo quando se cortam dois a dois em três retas paralelas. O escalonamento de Gauss na matriz ampliada leva à mesma conclusão algebricamente: uma linha 0 = número não nulo indica que não há solução, e uma linha toda nula indica que uma equação depende das outras.
Como usar
Escolha um Sistema e peça aos alunos que prevejam como os três planos estão dispostos. Gire a figura, ou use o botão 2D | 3D para a vista WebGL, para conferir a previsão. Depois clique várias vezes em Próximo passo e relacione cada operação de linhas com a matriz, voltando com Passo anterior quando necessário. No Sistema com parâmetro m, arraste o Parâmetro m e encontre o valor em que a solução única desaparece.
Parâmetros que você pode mudar
- Sistema Problema de compras (solução única), Sistema com parâmetro m, Sem solução, Infinitas soluções
- Parâmetro m (usado no sistema com parâmetro) -6–6
- Moeda (problema de compras) Conforme o idioma, Dólar americano, Euro, Rupia indiana, Rupia indonésia, Rial saudita
Perguntas para explorar
- Se os três planos forem paralelos entre si, o sistema pode ter solução? O que o escalonamento mostraria?
- Para qual valor de m o sistema com parâmetro não tem solução, e que linha aparece após o escalonamento?
- Por que um sistema com infinitas soluções corresponde a uma reta comum aos três planos?
