La fraction (ax + b)/(cx + d) : valeurs interdites et courbe

Ce qu’elle montre

Une expression rationnelle comme (ax + b)/(cx + d) n'a de valeur que là où son dénominateur n'est pas nul : la valeur x = −d/c est donc interdite. Sur la courbe, cette règle devient une coupure visible. Près de la valeur interdite, le dénominateur est très petit et la valeur croît sans borne, ce qui donne une asymptote verticale ; pour |x| grand, la valeur se rapproche de a/c, l'asymptote horizontale. Lorsque ad − bc = 0, le numérateur est un multiple du dénominateur : l'expression se simplifie en une constante et la courbe devient une droite horizontale privée d'un point.

Mode d’emploi

Partez des coefficients par défaut et faites glisser le point P sur la courbe pour lire la valeur de l'expression en plusieurs valeurs de x, dont certaines très proches de la coupure. Modifiez le Coefficient c et le Coefficient d et demandez aux élèves de prévoir où la coupure va se déplacer avant de regarder, puis activez Afficher les asymptotes pour vérifier. Choisissez ensuite a, b, c, d tels que ad − bc = 0, par exemple 2, 4, 1, 2, et repérez le point creux.

Paramètres modifiables

• Coefficient a (numérateur) -6–6
• Coefficient b (numérateur) -6–6
• Coefficient c (dénominateur) -6–6
• Coefficient d (dénominateur) -6–6
• Afficher les asymptotes
• Étendue des axes (−R … R) 4–20

Questions à explorer

1. Quelle valeur de x est interdite pour (x + 2)/(x − 1), et que fait la courbe à cet endroit ?
2. Pourquoi la courbe ne peut-elle jamais couper la droite verticale x = −d/c ?
3. Quel type d'expression, et quel type de courbe, obtient-on lorsque le Coefficient c vaut 0 ?