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Grandeurs qui varient ensemble – courbes du remplissage de vases et d'une balade à vélo

MathématiquesFonctions et courbes15–16 ans

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Remplissez à débit constant un cylindre, un cône, un ballon à fond rond, un bol ou un vase de votre création, ou suivez une balade à vélo ; faites glisser des points pour esquisser la courbe hauteur–temps ou distance–temps, puis comparez-la à la vraie courbe. Une animation synchronisée fait avancer le vase (ou le vélo) avec la courbe et colore les intervalles où la fonction est croissante, décroissante, convexe ou concave ; le tableau de variations et les extremums se lisent directement sur la courbe, sans dérivée.

Leçon : Fonctions : courbes qualitatives, sens de variation, tableau de variations, extremums

Ce qu’elle montre

Quand l'eau coule dans un vase à débit constant, le volume augmente régulièrement, mais la vitesse de montée du niveau dépend de la largeur du vase à la surface de l'eau : les parties larges se remplissent lentement, les parties étroites rapidement. La courbe hauteur–temps monte donc toujours, mais elle s'infléchit vers le bas là où le vase s'élargit, vers le haut là où il se resserre, et elle est droite là où les parois sont verticales. La balade à vélo ajoute des intervalles où la distance au domicile croît, reste constante puis décroît. On prédit d'abord, puis on compare.

Mode d’emploi

Choisissez un Vase, faites glisser les points orange pour esquisser votre prédiction, puis cliquez sur Lancer ou faites glisser Instant pour voir le vase et la courbe avancer ensemble. Cliquez sur Afficher la vraie courbe pour comparer et lire le score. Utilisez Colorier pour faire apparaître le sens de variation ou la convexité. Sur l'écran Balade à vélo, esquissez la distance au domicile et lisez le tableau de variations et les extremums.

Paramètres modifiables

  • Écran Remplir un vase, Balade à vélo
  • Forme du vase Cylindre, Cône (évasé en haut), Ballon à fond rond, Bol, Votre création
  • Débit 20–200 mL/s
  • Balade Au parc et retour, Par une colline chez un ami
  • Colorier la vraie courbe selon Automatique selon l'écran, Croissante / décroissante, Convexe / concave, Sans couleur
  • Afficher la vraie courbe dès le départ
  • Vitesse de l'animation 0,5–4

Questions à explorer

  1. Pourquoi la courbe hauteur–temps d'un cône qui s'évase vers le haut s'infléchit-elle vers le bas ?
  2. Quelle forme de vase donnerait une courbe d'abord droite, puis tournée vers le haut ?
  3. Pendant la balade, quand la distance au domicile est-elle maximale, et comment le tableau de variations le montre-t-il ?

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