Limites de suites et de fonctions, continuité

Ce qu’elle montre

Une suite uₙ a pour limite L si, pour toute bande L ± ε, tous les termes à partir d'un rang N₀ y sont contenus. Une fonction a une limite en x₀ quand ses limites à gauche et à droite sont égales, et elle y est continue si cette limite vaut f(x₀). Le mode Techniques transforme les formes 0/0 et ∞/∞ en valeurs exactes : factoriser ou multiplier par la quantité conjuguée supprime un trou, le théorème des gendarmes encadre x² sin(1/x) et sin x / x, la règle de L'Hôpital compare f/g à f′/g′ et diviser par la plus haute puissance donne les limites en l'infini.

Mode d’emploi

Dans Suite, choisissez une suite et faites glisser verticalement sur le graphique pour réduire ε ; prévoyez l'évolution de N₀. Dans Fonction, fixez x₀, rapprochez-en le point rouge de chaque côté ou appuyez sur Lancer, puis comparez les limites à gauche et à droite avec f(x₀). Dans Techniques, choisissez un cas et appuyez sur Étape suivante pour dévoiler la démarche pas à pas tout en déplaçant le point rouge et en lisant le tableau.

Paramètres modifiables

• Objet Suite uₙ, Fonction f(x), Techniques de calcul de limites
• Suite uₙ = 1/n, uₙ = (−1)ⁿ/n, uₙ = (2n + 1)/(n + 1), uₙ = (−1)ⁿ (pas de limite)
• ε (demi-largeur de la bande autour de L) 0,02–0,5
• Fonction f(x) = (x² − 1)/(x − 1), f(x) = sin x / x, f(x) = |x|/x, f(x) = x² (continue)
• Point x₀ où l'on étudie la limite -3–3
• Technique (mode Techniques) Factoriser : (x² − x − 6)/(x − 3), x → 3, Conjuguée : (√(x + 4) − 2)/x, x → 0, Gendarmes : x² sin(1/x), x → 0, Gendarmes : sin x / x, x → 0, L'Hôpital 0/0 : ln x / (x − 1), x → 1, L'Hôpital ∞/∞ : ln x / x, x → +∞, En l'infini : (2x² − 3x + 1)/(x² + 4)

Questions à explorer

1. Pour ε = 0,1, à partir de quel rang N₀ tous les termes de uₙ = 1/n sont-ils dans la bande ?
2. Pourquoi multiplier par √(x + 4) + 2 lève-t-il la forme 0/0 de (√(x + 4) − 2)/x quand x → 0 ?
3. Lesquelles des quatre fonctions sont continues en x₀ = 0, et que se passe-t-il pour les autres ?