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Systèmes de trois équations linéaires – plans et pivot de Gauss

MathématiquesAlgèbre15–16 ans

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Utiliser avec ma classe

Chaque équation ax + by + cz = d représente un plan de l'espace. Faites tourner le repère 3D pour voir trois plans se couper en un point (solution unique), se couper deux à deux selon trois droites parallèles (aucune solution) ou partager une droite commune (infinité de solutions), tout en avançant pas à pas dans la méthode du pivot de Gauss sur la matrice augmentée pour comprendre pourquoi le système relève de ce cas. Le bouton 2D | 3D passe à une vraie vue en trois dimensions (WebGL) : les trois plans colorés dans le repère Oxyz, leurs droites d'intersection et le point solution, que vous pouvez tourner et agrandir librement.

Leçon : Systèmes de trois équations linéaires à trois inconnues

Ce qu’elle montre

Une équation linéaire ax + by + cz = d à trois inconnues représente un plan de l'espace : résoudre un système de trois telles équations revient donc à chercher les points communs à trois plans. Les plans peuvent se couper en un seul point (solution unique), avoir une droite en commun (infinité de solutions avec une inconnue libre) ou n'avoir aucun point commun, par exemple lorsqu'ils se coupent deux à deux selon trois droites parallèles. Le pivot de Gauss sur la matrice augmentée conduit à la même conclusion : une ligne 0 = nombre non nul signifie aucune solution, et une ligne nulle signifie qu'une équation dépend des autres.

Mode d’emploi

Choisissez un Système et demandez aux élèves de prévoir la position des trois plans. Faites tourner la figure, ou utilisez le bouton 2D | 3D pour la vue WebGL, afin de vérifier la prévision. Cliquez ensuite plusieurs fois sur Étape suivante et reliez chaque opération sur les lignes à la matrice, en revenant avec Étape précédente si besoin. Pour le Système avec paramètre m, faites glisser le Paramètre m et trouvez la valeur pour laquelle la solution unique disparaît.

Paramètres modifiables

  • Système Problème d'achats (solution unique), Système avec paramètre m, Aucune solution, Infinité de solutions
  • Paramètre m (pour le système paramétré) -6–6
  • Monnaie (problème d'achats) Selon la langue, Dollar américain, Euro, Roupie indienne, Roupie indonésienne, Riyal saoudien

Questions à explorer

  1. Si les trois plans sont parallèles entre eux, le système peut-il avoir une solution ? Que montrerait le pivot de Gauss ?
  2. Pour quelle valeur de m le système paramétré n'a-t-il aucune solution, et quelle ligne apparaît après élimination ?
  3. Pourquoi un système ayant une infinité de solutions correspond-il à une droite commune aux trois plans ?

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