Identités remarquables – découper et réassembler

Ce qu’elle montre

Les identités remarquables se démontrent avec des aires. Un carré de côté a + b se découpe en un carré a², un carré b² et deux rectangles a × b : d'où (a + b)² = a² + 2ab + b² et non a² + b². Pour (a − b)², les bandes retirées d'un carré de côté a expliquent le terme −2ab. Pour a² − b², on enlève un carré b² dans un coin d'un carré a², puis le reste en forme de L est découpé en deux rectangles formant un rectangle (a + b) × (a − b) : c'est la factorisation d'une différence de deux carrés.

Mode d’emploi

Choisissez une identité avec les boutons (a + b)², (a − b)² ou a² − b², puis faites glisser les poignées ou modifiez Longueur a et Longueur b. Avec les aires affichées sur les pièces, demandez aux élèves d'additionner les pièces et de les relier à la formule numérique sous la figure. Cliquez sur Séparer / Assembler pour écarter les pièces puis les réunir, surtout pour a² − b², où le rectangle reconstitué rend la factorisation visible.

Paramètres modifiables

• Longueur a 2–10 unités
• Longueur b 0,5–9 unités
• Identité (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b², a² − b² = (a + b)(a − b)
• Afficher les aires sur les pièces

Questions à explorer

1. Pourquoi (a + b)² est-il plus grand que a² + b² quand a et b sont positifs, et de combien ?
2. Avec a = 9 et b = 4, quelles sont les dimensions du rectangle reconstitué, et combien vaut 9² − 4² ?
3. Quelle est l'aire totale des deux rectangles ab, et où apparaît-elle dans la formule ?