Loi normale – probabilités, cotes z et loi normale inverse

Ce qu’elle montre

Le modèle normal X ~ N(μ, σ²) est une courbe en cloche symétrique dont l'aire totale vaut 1 ; une probabilité est l'aire sous cette courbe. Centrer et réduire avec z = (x − μ)/σ transforme toute variable normale en Z ~ N(0, 1), donc P(a < X < b) = Φ(z_b) − Φ(z_a) ; la simulation calcule Φ numériquement au lieu d'utiliser une table. La loi normale inverse fait le chemin inverse : x = μ + zσ. Les jeux de données sont simulés et l'écart type d'échantillon divise par n − 1. L'écran binomial compare les probabilités binomiales exactes avec l'approximation normale, avec ou sans correction de continuité.

Mode d’emploi

Dans Probabilité, faites glisser le sommet de la courbe pour changer μ, le point vert en μ + σ pour changer σ, et les droites a et b ; choisissez le type dans Calculer et cochez Règle 68–95–99,7. Dans Inverse, choisissez une question et déplacez p. Dans Comparer, réglez les deux lois et cliquez sur Centrer-réduire vers N(0, 1). Dans Données, changez Jeu de données et Taille n, ou cliquez sur Nouvel échantillon. Dans Binomiale, déplacez n, p et k et activez Correction de continuité.

Paramètres modifiables

• Écran Probabilité, Loi normale inverse, Comparer deux lois, Modèle normal pour des données, Approximation de la binomiale
• Espérance μ -100–300
• Écart type σ 0,1–100
• Probabilité à calculer P(a < X < b), P(X < b), P(X > a), P(X < a ou X > b)
• Borne inférieure a -1000–1000
• Borne supérieure b -1000–1000
• Afficher la règle 68–95–99,7
• Afficher l'axe z
• Probabilité p (écran Inverse) 0,001–0,999
• Question inverse P(X < x) = p, P(X > x) = p, P(μ − d < X < μ + d) = p
• Espérance de la loi B -100–300
• Écart type de la loi B 0,1–100
• Valeur dans la loi A -1000–1000
• Valeur dans la loi B -1000–1000
• Jeu de données (écran Données) Tailles (simulées), Temps de réaction (simulés), Attentes du bus (simulées), Durée entre deux éruptions d'un geyser (simulée)
• Taille de l'échantillon n 10–2000
• Graine aléatoire (même nombre, mêmes données) 1–999
• Nombre d'épreuves n de B(n, p) 1–200
• Probabilité de succès p de B(n, p) 0,01–0,99
• Valeur k 0–200
• Probabilité binomiale à calculer P(X ≤ k), P(X ≥ k), P(X = k)
• Correction de continuité

Questions à explorer

1. Pourquoi P(μ − σ < X < μ + σ) reste-t-elle égale à 0,6827 quels que soient μ et σ ?
2. Quelle note est la meilleure par rapport à son groupe : 65 au test A ou 68 au test B ?
3. Pour quelles valeurs de n et p la courbe normale épouse-t-elle bien les barres de la binomiale ?